Leyland-nummer

Leyland-tal  är naturliga tal representerade som x y + y x , där x och y  är heltal större än 1 [1] . Ibland hänvisas 3 också till som ett Leyland-nummer [2] .

De första Leyland-numren [2] :

3 , 8 , 17 , 32 , 54 , 57 , 100 , 145 , 177 , 320 , 368 , 512 , 593 , 945 , 1124 , 1649 , 2169 , 2940 , 4 .

Kravet på att x och y måste vara större än 1 är av avgörande betydelse, eftersom utan det skulle varje naturligt tal kunna representeras som x 1 + 1 x . Dessutom, på grund av kommutativiteten för addition, läggs vanligtvis villkoret x ≥ y till för att undvika dubbeltäckning av Leyland-talen. Således definieras domänen av x och y av olikheten 1 < y ≤ x .

Leyland primer

De första Leyland-primtalen [ 3] [4] :

17 \u003d 3 2 + 2 3 , 593 \u003d 9 2 + 2 9 , 32993 = 152 + 215 _ 2097593 = 212 + 221 , 8 589 935 681 \u003d 33 2 + 2 33 , 59 604 644 783 353 250 = 24 5 + 5 24 , …

Från och med juni 2008 var den största kända Leyland prime

2638 4405 + 4405 2638

med 15 071 siffror [5] , vars enkelhet bevisades 2004 med hjälp av fastECPP-algoritmen [6] .

Därefter hittades ännu större Leyland-primtal, till exempel 5122 6753 + 6753 5122 (25050 decimaler) [7] . I december 2012 bevisades det att talen 3110 63 + 63 3110 (5596 decimaler) och 8656 2929 + 2929 8656 (30008 decimaler) också är primtal. Det sista av dessa nummer innehåller ett rekordstort antal decimaler hittills [8] . Det finns främsta kandidater, till exempel 314738 9 + 9 314738 [9] , men deras enkelhet har ännu inte bevisats.

Applikation

Siffror i formen har visat sig vara bra testfall för universella faktoriseringsalgoritmer på grund av deras enkla algebraiska beskrivning och avsaknaden av uppenbara egenskaper som skulle tillåta att någon speciell faktoriseringsalgoritm tillämpas [4] [6] .

Anteckningar

  1. ↑ Primtal: A Computational Perspective, 2005 .
  2. ↑ 1 2 OEIS - sekvens A076980 _
  3. ↑ OEIS - sekvens A094133 _
  4. ↑ 1 2 primtal och starka pseudoprimtal av formen x y + y x (nedlänk) . Paul Leyland. Tillträdesdatum: 14 januari 2007. Arkiverad från originalet den 10 februari 2007. 
  5. ↑ Elliptic Curve Primity Proof (ej tillgänglig länk) . Chris Caldwell. Hämtad 24 juni 2008. Arkiverad från originalet 10 december 2008. 
  6. ↑ 1 2 primtal: A Computational Perspective, 2005 , s. fyra.
  7. ↑ Elliptisk kurvaprimalitetsbevis . Chris Caldwell. Hämtad: 3 april 2011.
  8. ↑ Mihailescus CIDE . mersenneforum.org (11 december 2012). Hämtad: 26 december 2012.
  9. ↑ Henri Lifchitz & Renaud Lifchitz, PRP Top Records-sökning

Litteratur