Stabiliserad bikonjugatgradientmetod

Biconjugate gradient stabilized method (BiCGStab ) är en iterativ metod för att lösa SLAE av Krylov-typ . Utvecklad av Van der Worst (engelska) för att lösa system med icke- symmetriska matriser . Konvergerar snabbare än den konventionella bikonjugatgradientmetoden , som är instabil [1] och därför mer vanligt förekommande [2] .

Notation

För komplexa SLAE:er använder metoden två typer av skalära produkter , i fallet med riktiga matriser och den högra sidan sammanfaller de.

$(u, v) = \sum_{i=1}^n \överlinje{u}_i v_i$
$[u, v] = \sum_{i=1}^n u_i v_i$

Metodalgoritm

För att lösa SLAE av formen , där är en komplex matris, kan följande algoritm [1] [3] användas med den stabiliserade metoden för bikonjugatgradienter : $yxa = b$ $A$

Förberedelse inför den iterativa processen

Vi väljer en initial uppskattning $x^0$
$r^0 = b - Ax^0$
$\tilde{r} = r^0$
$\rho^0 = \alpha^0 = \omega^0 = 1$
$v^0 = p^0 = 0$

k

-th metoden iteration

$\rho^k = (\tilde{r}, r^{k-1})$
$\beta^k = \frac{\rho^{k}}{\rho^{k-1}} \frac{\alpha^{k-1}}{\omega^{k-1}}$
$p^{k}=r^{k-1}+\beta ^{k}(p^{k-1}-\omega ^{k-1}v^{k-1})$
$v^k = Ap^k$
$\alpha^k = \frac{\rho^k}{(\tilde{r}, v^k)}$
${\displaystyle s^{k}=r^{k-1}-\alpha ^{k}v^{k))$
$t^k = A s^k$
$\omega^k = \frac{[t^k, s^k]} {[t^k, t^k]}$
$x^k = x^{k-1} + \omega^ks^k + \alpha^kp^k$
$r^k = s^k - \omega^kt^k$

Kriterium för att stoppa den iterativa processen

Utöver de traditionella stoppkriterierna, såsom antalet iterationer ( ) och den angivna residualen ( ), kan metoden också stoppas när värdet har blivit mindre än något förutbestämt tal . $k \le k_{max}$ $\||r^k|| /||b|| < \varepsilon$ $|\omega^k|$ $\varepsilon_{\omega}$

Se även

Konjugerad gradientmetod

Anteckningar

↑ 1 2 Henk A. van der Vorst. Iterativa Krylov-metoder för stora linjära system. - Cambridge University Press, 2003. - 221 sid. — ISBN 9780521818285 .
↑ T. Huttunen, M. Malinen, P. Monk. Lösa Maxwells ekvationer med hjälp av ultrasvag variationsformulering . – 2006.
↑ A. Formmer , V. Hannemann , B. Nokel , Th. Lippert , K. Schilling. Accelerera Wilson Fermion Matrix Invesion med hjälp av Stibilized Biconjugate Cgadient Agorithm . — 1994.

Metoder för att lösa SLAE
Direkta metoder	Matrismetod Gauss metod Gauss-Jordan-metoden Cramer metod LU-nedbrytning Cholesky nedbrytning Sopa metod
Iterativa metoder	Jacobi metod Gauss-Seidel-metoden Iterationsmetod Avslappningsmetod Konjugerad gradientmetod Bikonjugerad gradientmetod Stabiliserad bikonjugatgradientmetod
Allmän	invers matris Projektionsmetoder för att lösa SLAE Förkonditionering