Integral exponentialfunktion

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 1 januari 2020; kontroller kräver 2 redigeringar .

En integral exponentialfunktion är en speciell funktion , betecknad med symbolen . $\operatörsnamn {Ei}$

Definition på uppsättningen av reella tal

Följande definition är vanligast (se diagram): $\operatörsnamn {Ei}$

$\operatorname {Ei} (x)=\mathrm {vp} \int \limits _{-\infty }^{x}{\frac {e^{t}}{t}}\,\mathrm { d} t=\gamma +\operatörsnamn {ln} |x|+\summa \limits _{n\geq 1}{\frac {x^{n}}{n!\cdot n}},\;x\ i \mathbb {R} ,\;(1)$

var är Euler-konstanten . Integralen i betydelsen av huvudvärdet i (1) har olika serieexpansion för positivt och negativt x, vilket gör det svårt att fortsätta den analytiskt till det komplexa planet [d.v.s. en generalisering av (1) till fallet med komplexa värden av x]. Av denna anledning verkar definition (1) vara felaktig; istället är det mer lämpligt att använda [inkompatibel med (1)] $\gamma$

Grundläggande definition

Integral exponentialfunktion - en speciell funktion definierad av integralen [1]

$\operatorname {Ei} (z)=\int \limits _{-\infty }^{z}{\frac {e^{t}}{t}}\,\mathrm {d} t=\ gamma +\operatörsnamn {ln} (-z)+\sum \limits _{n\geq 1}{\frac {z^{n}}{n!\cdot n}},\;|\arg(-z )|<\pi ,\;(2)$

Liksom serien för exponentialfunktionen konvergerar den oändliga summan i (2) vid vilken punkt som helst i det komplexa planet. Resultatet av integrationen i (2) beror inte bara på utan också på integrationsvägen, nämligen det bestäms av antalet gånger integrationsvägen går runt punkten , i närheten av vilken integranden i (2) är ungefär lika med . Funktionen är alltså flervärdig och singularpunkten är den logaritmiska grenpunkten . Som i fallet med den logaritmiska funktionen är skillnaden i värdena för de olika grenarna av funktionen (för ett fast värde ) en multipel av . $z$ $t=0$ $1/t$ $\operatörsnamn {Ei} (z)$ $z=0$ $\operatörsnamn {ln} z$ $z$ $2\pi i$

Nedan kommer vi endast att betrakta huvudgrenen (värdet) som motsvarar huvudgrenen i (2). Den konventionella skärningen av det komplexa planet för (längs den negativa reella axeln) motsvarar snittet längs den positiva reella axeln för funktionen . Vi fixar också huvudgrenen av argumentet: och vidare kommer vi att anta att det är en envärdig analytisk funktion definierad på hela det komplexa planet, förutom snittet längs den positiva reella axeln. $\operatörsnamn {Ei}$ $\operatörsnamn {ln}$ $\operatörsnamn {ln} z$ $\operatörsnamn {Ei} (z)$ $-\pi <\operatörsnamn {arg} z\leq \pi$ $\operatörsnamn {Ei}$

Förekomst i beräkningen av integraler $\operatörsnamn {Ei}$

Integralen av en godtycklig rationell funktion multiplicerad med exponenten uttrycks i den slutliga formen i termer av funktionen och elementära funktioner. [ett] $\operatörsnamn {Ei}$

Som ett enkelt exempel på en integral som reduceras till en integral exponentiell funktion, överväg (förutsatt att ) $b>0$

$\int \limits _{0}^{+\infty }{\frac {e^{ibx}\mathrm {d} x}{x+iz))={\begin{cases}-e^{ bz}\operatörsnamn {Ei} (-bz),&\operatörsnamn {arg} z\inte \i [\pi /2,\pi ],\\-e^{bz}\left[\operatörsnamn {Ei} ( -bz)-2\pi i\right],&\operatörsnamn {arg} z\in (\pi /2,\pi ).\end{fall}}\;(2)$

Av (2) följer att för verkliga värden och $y$ $b$

$\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {x\cos bx\,\mathrm {d} x}{x^{2}+y^{2))}=-{ \frac {1}{2}}\left[e^{|by|}\operatörsnamn {Ei} (-|by|)+e^{-|by|}\operatörsnamn {Ei} _{1}(| av|)\right],\;(3)$

där det finns en sk. modifierad integral exponentialfunktion [1] : $\operatorname {Ei} _{1}$

$\operatörsnamn {Ei} _{1}(y)={\frac {1}{2}}\left[\operatörsnamn {Ei} (y+i0)+\operatörsnamn {Ei} (y-i0) \right]=\gamma +\operatörsnamn {ln} y+\sum \limits _{n\geq 1}{\frac {y^{n}}{n!\cdot n}},\;y>0,\ ;\operatörsnamn {Ei} _{1}(y)\in \mathbb {R} .\;(4)$

Faktum är att (4) sammanfaller med funktionen som definieras i (1), och ofta betecknas funktionen med symbolen , vilket kan leda till fel. $\operatorname {Ei} _{1}$ $\operatörsnamn {Ei}$

Vid erhållande av resultatet (3) användes integralens värde

$\int _{0}^{\infty }{\frac {x\sin bx\,\mathrm {d} x}{x^{2}+z^{2))}={\frac { \pi }{2}}\operatörsnamn {exp} [-bz\operatörsnamn {tecken} \Im z],\;b>0.$

Integral (3) kan betraktas som en verklig funktion av verkliga argument och . Det är logiskt att kräva att en sådan funktion endast uttrycks i termer av verkliga värden. Detta krav motiverar införandet av en ytterligare symbol [utöver den som redan definierats i (2) ] . $b$ $y$ $\operatörsnamn {Ei}$ $\operatorname {Ei} _{1}$

Resultat (3) kan enkelt generaliseras till godtyckliga (förutom rent imaginära) komplexa värden av parametern : $z$

$\int _{0}^{\infty }{\frac {x\cos bx\,\mathrm {d} x}{x^{2}+z^{2))}=-{\frac {1}{2}}\left\{e^{bz}\operatörsnamn {Ei} (-bz)+e^{-bz}\left[\operatörsnamn {Ei} (bz)+\pi i\operatörsnamn { sign} \Im z\right]\right\},\;b>0,\;\Re z\neq 0.\;(5)$

Formel (3) för och kan erhållas genom att sätta i (5). $b>0$ $y>0$ $z=y\pm i0$

Integralen (5) finns på sidan 320 i Prudnikovs handbok [2] , men uttrycket som ges där är bara sant för verkliga värden och förutsatt att definition (1) används för funktionen. $z$ $\operatörsnamn {Ei}$

Det bör noteras att det är farligt att förlita sig på kommersiella datoralgebrasystem för att beräkna sådana integraler (särskilt för komplexa parametervärden). På grund av förväxlingen med notationen (användningen av symbolen istället för ) kan man inte heller lita på referensböcker fullt ut. $\operatörsnamn {Ei}$ $\operatorname {Ei} _{1}$

Se även

Anteckningar

↑ 1 2 3 Lebedev, N. N. Specialfunktioner och deras tillämpningar . - 2. - 1963. (ryska)
↑ Prudnikov A.P. , Brychkov Yu.A. , Marichev O.I. Integraler och serier. - Ed. 2:a. - M. : FIZMATLIT, 2003. - T. 1. - S. 320,561,622. — ISBN 5-9221-0323-7 .

Ordböcker och uppslagsverk	Stor ryss