K(G,n) mellanslag

$K(G,n)$ utrymmen (eller Eilenberg-MacLane utrymmen) är topologiska utrymmen med en unik icke-trivial homotopigrupp i dimension . $G$ $n$

Uppkallad efter Samuel Eilenberg och Saunders McLane , som övervägde dessa utrymmen i slutet av 1940-talet.

Definition

Låt vara en grupp och vara ett positivt heltal. Ett vägkopplat topologiskt utrymme kallas ett utrymme om det har en -:e homotopigrupp isomorf till , och alla andra homotopigrupper är triviala. $G$ $n$ $X$ $K(G,n)$ $n$ $\pi _{n}(X)$ $G$ $X$

Om , då måste vi anta att det är kommutativt. $n>1$ $G$

Existens och unikhet

Givet och , kan ett exempelutrymme byggas i etapper, som ett CW-komplex , med början med ett gäng dimensionella sfärer , en för varje generator i gruppen , och sedan lägga till celler (möjligen ett oändligt antal) av högre dimensioner för att döda alla onödiga homotopigrupper, som börjar med dimension . $G$ $n$ $K(G,n)$ $n$ $G$ $n+1$

Exempel

Cirkeln är rymd. $\mathbb {S} ^{1}$ $K(\mathbb {Z} ,1)$

Ett oändligt dimensionellt verkligt projektivt utrymme är ett utrymme. ${\displaystyle \mathbb {RP} ^{\infty ))$ $K(\mathbb {Z} _{2},1)$

Summan av en bukett k cirklar är för en fri grupp med k generatorer. ${\displaystyle \textstyle \bigvee _{i=1}^{k}\mathbb {S} ^{1))$ $K(G,1)$ $G$

Komplementet till varje knut i en tredimensionell sfär är ett utrymme; detta följer av nodernas asfäritet - Christos Papakiriakopoulos sats bevisade av honom 1957. ${\displaystyle \mathbb {S} ^{3))$ $K(G,1)$

Varje kompakt anslutet grenrör M med icke-positiv tvärsnittskrökning är , där är den grundläggande gruppen av M. $K(\Gamma ,1)$ $\Gamma =\pi _{1}(M)$
- Detsamma gäller för lokalt CAT(0)-mellanslag .

Ett oändligt dimensionellt komplext projektivt utrymme är ett utrymme. Dess kohomologiring är en fri ring av polynom med en generator i dimension 2. Denna generator kan representeras i de Rham-kohomologin av Fubini-Study 2-formen . $\mathbb {CP} ^{\infty }$ $K(\mathbb {Z} ,2)$ $\mathbb {Z} [x]$ $x$

Egenskaper

$K(G,n)$ utrymmet är unikt upp till svag homotopi-ekvivalens .

Produkten av och utrymmen är ett utrymme. $K(G,n)$ $K(H,n)$ $K(G\ gånger H,n)$

Antag att det är ett mellanslag och är ett godtyckligt CW-komplex. Sedan för uppsättningen av homotopi-kartläggningsklasser finns det en naturlig bijektion med kohomologigrupp . Detta påstående är analogt med Yonedas lemma i kategoriteorin . $X$ $K(G,n)$ $K$ $K\to X$ $H^{n}(K,G)$

Slingornas utrymme i utrymmets utrymme är utrymmet. $K(G,n)$ $K(G,n-1)$

Se även

Ett asfäriskt utrymme är ett K(G,1) utrymme.
Homologisk sfär

Litteratur

Fuchs D. B., Fomenko A. T., Gutenmakher V. L. Homotopy topology. - M .: MGU, 1969.

Eilenberg, Samuel & MacLane, Saunders (1945), Relations between homology and homotopy groups of spaces , Annals of Mathematics , (Second Series) vol. 46 (3): 480–509 , DOI 10.2307/1969165

Eilenberg, Samuel & MacLane, Saunders (1950), Relationer mellan homologi och homotopigrupper av utrymmen. II , Annals of Mathematics , (Second Series) vol. 51 (3): 514–533 , DOI 10.2307/1969365

Morita, Kiiti. Čech kohomologi och täckande dimension för topologiska rum (engelska) // Fundamenta Mathematicae : journal. - 1975. - Vol. 87 . - S. 31-52 . - doi : 10.4064/fm-87-1-31-52 .

Papakyriakopoulos, CD On Dehn's Lemma and the Asphericity of Knots (engelska) // Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America : journal. - 1957. - Vol. 43 , nr. 1 . - S. 169-172 . - doi : 10.1073/pnas.43.1.169 . — PMID 16589993 .

Papakyriakopoulos, CD On Dehns Lemma and the Asphericity of Knots (engelska) // Ann. Matematik. : journal. - 1957. - Vol. 66 , nr. 1 . - S. 1-26 . - doi : 10.2307/1970113 .