LC oscillator

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 16 augusti 2017; kontroller kräver 2 redigeringar .

En LC-oscillator är en elektrisk krets som i det enklaste fallet består av parallellkopplade kapacitans , induktans och icke-linjärt motstånd, vars ström-spänningskarakteristik har en negativ differentialledningsförmåga i området för låga spänningar. Kretsens differentialekvation har formen Om CVC för den olinjära resistansen approximeras av ett reducerat tredje ordningens polynom , då med en negativ koefficient , positiv och numerisk likhet , sammanfaller ekvation (1) med Van der Pols ekvation ${g=di/du}$

${\frac {d^{2}u}{dt^{2}}}+{\frac {g(u)}{C}}{\frac {du}{dt}}+{\frac {1}{LC}}u=0,\quad (1)$

${\displaystyle i(u)=a_{1}u+a_{3}u^{3))$ $a_{1}$ $a_{3}$ ${\displaystyle a_{1}=-a_{3))$ . I det allmänna fallet har ekvation (1) ingen analytisk lösning. Det är möjligt att få en stationär lösning i kvadraturer för särskilda fall. En av dem är approximationen av CVC för en rät linje som går genom origo koordinater, med ett brott i en punkt på ett sådant sätt att den differentiella konduktiviteten beskrivs av uttrycket [1] där , och är positiva konstanter. Vid är systemet instabilt och vid och små uppstår stationära svängningar i systemet som är nära harmoniska. På separata intervall av oscillationsperioden har den stationära lösningen av den homogena ekvationen (1) vid formen: där , , , . Svängningsperioden , tidsögonblicket som fungerar som gränsen för intervallen på vilka (1) betraktas och integrationskonstanterna bestäms från lösningen av ekvationssystemet [2] ; ; ; ; ; . Lösningskoefficienter (1), erhållna numeriskt med ett fel i den sista siffran vid H, F, Cm, B och : $U_{{0}}$

$g(u)=\left\{{\begin{matrix}kG,&u\geq U_{0};\\-G,&u<U_{0},\end{matrix}}\right.$

$k$ $G$ $U_{{0}}$ $k<1$ $k>1$ $G$ $kG<{\sqrt {C/L}}$

$u(t)=\left\{{\begin{matrix}u_{1}=(a_{1}\sin \omega _{1}t+a_{2}\cos \omega _{1} t)exp{(-\delta _{1}t)};\quad 0\leq t<t_{1};\\u_{2}=(a_{2}\sin \omega _{2}t+ a_ {2}\cos \omega _{2}t)exp(\delta _{2}\,t);\quad \,t_{1}<t\leq T,\end{matrix}}\right.$

$\delta _{1}=kG/(2C)$ $\delta _{2}=G/(2C)$ ${\displaystyle \omega _{1}={\sqrt {1/(LC)-(kG/2C)^{2))))$ ${\displaystyle \omega _{2}={\sqrt {1/(LC)-(G/2C)^{2))))$
$T$ ${\displaystyle t_{1))$ $a_{1,2}$ $b_{1,2}$

$u_{1}(0)=U_{0}$ ${\displaystyle u_{1}(t_{1})=U_{0))$ $u_{1}(0)=u_{2}(T)$ $u_{1}(t_{1})=u_{2}(t_{1})$ $\left.{\begin{matrix}du_{1}/dt\end{matrix}}\right|_{0}=\left.{\begin{matrix}du_{2}/dt\end{ matris}}\right|_{T}$ $\left.{\begin{matrix}du_{1}/dt\end{matrix}}\right|_{t_{1}}=\left.{\begin{matrix}du_{2}/dt \end{matrix}}\right|_{t_{1}}$

$L=1$ $C=1$ $G=0.2$ $U_{0}=1$ $k=2$

$a_{1}=4.66464104629771$ ,B; ,B; ,B; ,B; ,Med; , Med. $a_{2}=1$ $b_{1}=2.13803529592679$ $b_{2}=0,0116873463357039$ $t_{1}=2.78836465601698$ $T=6.55583946961978$

I fallet blir de genererade svängningarna relaxerande, lösningen söks som summan av två exponentialfunktioner, men lösningskonstanterna bestäms fortfarande från kontinuitetsvillkoret och vid matchningspunkterna , och . $G>{\sqrt {C/L}}$ $u(t)$ $du/dt$ $t=0$ ${\displaystyle t=t_{1))$ $t=T$

Differentiell konduktivitet kan specificeras på annat sätt [3] . $g(u)$

Anteckningar

↑ Andronov, A.A., Chaikin, C.E., Theory of Oscillations, Princeton University Press, Princeton, NJ, (1949).
↑ Biryukov V. N., Gatko L. E. "Exakt stationär lösning av autogeneratorekvationen", Nolinjär värld, 10 (9),. 613-616, (2012).
↑ Pilipenko AM och Biryukov VN "Undersökning av moderna numeriska analysmetoder för effektivitet i självoscillatoriska kretsar", Journal of Radio Electronics, nr 9, (2013). http://jre.cplire.ru/jre/aug13/9/text-engl.html Arkiverad 3 februari 2017 på Wayback Machine