Minkowski kapacitans

Minkowski-kapaciteten är huvudbegreppet inom geometrisk måttteori , generalisering till godtyckliga mätbara bestämmer begreppen längden på en kurva i planet och ytarean i rymden .

Kapacitet appliceras vanligtvis på fraktala gränser för regioner i det euklidiska utrymmet , men är vettigt i sammanhanget med allmänna metriska utrymmen med mått.

Uppkallad efter Herman Minkowski .

Definition

Låta vara ett metriskt utrymme med ett mått, där är ett mått på , och är ett Borelmått . För en delmängd i och reell ε > 0, beteckna med $(X,\mu ,d)$ $d$ $X$ $\mu$ $A$ $X$

{\displaystyle A_{\varepsilon }=\{x\in X\,|\,d(x,A)<\varepsilon \))

dess stängda kvarter. Kodimensionens nedre Minkowskikapacitet definieras som den nedre gränsen $\varepsilon$ $k$

M_{*}(A)=\liminf _{\varepsilon \to 0}{\frac {\mu (A_{\varepsilon })-\mu (A)}{\varepsilon ^{k))} ,

och den övre Minkowski-kapaciteten för kodimensionen som den övre gränsen $k$

M^{*}(A)=\limsup _{\varepsilon \to 0}{\frac {\mu (A_{\varepsilon })-\mu (A)}{\varepsilon ^{k)) }.

Om , Då kallas deras gemensamma värde Minkowski-kapaciteten för kodimension A med avseende på måttet μ, och betecknas med . $M^{*}(A)=M_{*}(A)$ $k$ $M(A)$

Egenskaper

Om det finns en sluten - likriktbar inställning i , så existerar Minkowski-kapaciteten med avseende på volymen på och sammanfaller med dess -dimensionella Hausdorff-mått upp till normalisering. $A$ $n$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+k))$ $A$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+k))$ $n$

Se även

Minkowski dimension

Länkar

Federer, Herbert , Geometrisk måttteori .