Bachmanns axiomatik

Bachmanns axiomatik är ett system av axiom för neutrala och euklidiska geometrier , byggt på begreppet grupper av rörelser. Föreslagen av Friedrich Bachmann . [ett]

Notation

Kommuterbarheten av två element i en grupp, det vill säga uppfyllandet av identiteten kommer att betecknas med ; betyder samtidigt samtidig exekvering av , , och . $a\cdot b=b\cdot a$ $a|b$ $a,b|c,d$ $a|c$ $a|d$ $b|c$ $b|d$

Givet en grupp med ett distingerat invariant system av generatorer , bestående av involutiva element . Element från betecknas med små latinska bokstäver. Dessa involutiva element från det kan representeras som en produkt av två element från (det vill säga element i formen , där ) betecknas med latinska versaler. ${\mathfrak {G}}$ ${\mathfrak {S}}$ ${\mathfrak {S}}$ ${\mathfrak {G}}$ ${\mathfrak {S}}$ $a\cdot b$ $a,b\in {\mathfrak {S))$

Neutral geometri

Axiom 1. För alla finns det sådant att . $P$ $F$ $g$ $P,Q|g$

Axiom 2. Det följer att eller . $P,Q|g,h$ $P=Q$ $g=h$

Axiom 3. Om , Då finns det ett element så att . $a,b,c|P$ $d$ $a\cdot b\cdot c=d$

Axiom 4. Om , Då finns det ett element så att . $a,b,c|g$ $d$ $a\cdot b\cdot c=d$

Axiom D. Det finns sådana att , och ingen av relationerna , , . $g,h,j$ $g|h$ $j|g$ $j|h$ $j|g\cdot h$

Samband med de vanliga axiomen

Detta system av axiom uppfylls av grupperna av euklidiska och icke-euklidiska plan, om de tas som en uppsättning axiella symmetrier. I det här fallet kommer de ofrivilliga elementen i gruppen som kan representeras som en produkt av två element från att visa sig vara centrala symmetrier. ${\mathfrak {S}}$ ${\mathfrak {S}}$

Således kan uppsättningen identifieras med uppsättningen linjer på planet, och uppsättningen av involutiva element i gruppen kan representeras som en produkt av två element från med en uppsättning punkter. ${\mathfrak {S}}$ ${\mathfrak {S}}$

Vart i,

förhållande betyder att punkten ligger på en linje . $P|a$ $P$ $a$
förhållande betyder att linjen är vinkelrät mot linjen ; $a|b$ $a$ $b$
- i detta fall finns det en skärningspunkt och . $P=a\cdot b$ $a$ $b$

Euklidisk geometri

Systemet för euklidisk geometri kompletteras med två axiom

Axiom R. Från och följer . $a,b|c$ $a|d$ $b|d$

Axiom V. För alla finns det alltid det , eller det finns en linje sådan att . $a,b$ $C$ $a,b|C$ $c$ $a,b|c$

Anteckningar

↑ Friedrich Bachmann. Konstruktion av geometri utifrån begreppet symmetri. — 1969.