Absolut geometri
Absolut geometri (eller neutral geometri ) är en del av klassisk geometri, oberoende av den euklidiska axiomatikens femte postulat (det vill säga i absolut geometri kan det femte postulatet vara uppfyllt eller inte). Absolut geometri innehåller satser som är gemensamma för euklidisk geometri och för Lobatjovskijs geometri [1] [2] .
Termen föreslogs av Janos Bolyai 1832 [3] . Det är sant att Bolyai själv satte en något annan innebörd i det: han kallade absolut geometri symboliken speciellt utvecklad av honom, vilket gjorde det möjligt att förena satserna för både euklidisk geometri och Lobatjovskij geometri [4] med en formel .
Exempel på satser i absolut geometri
De första 28 satserna i Euklids " principer " hänvisar till absolut geometri. Här är några fler exempel på sådana satser [5] :
- En likbent triangel har lika basvinklar.
- En yttre vinkel i en triangel är större än varje inre vinkel som inte gränsar till den.
- Varje triangel har minst två spetsiga vinklar.
- När två linjer skär varandra är de vertikala vinklarna lika.
- Den största av de två sidorna av triangeln motsätts av den större vinkeln, och vice versa, den större sidan motsätts av den större sidan.
- Den vinkelräta (från en punkt till en rät linje) är kortare än den sneda.
- Varje sida av triangeln är mindre än summan och större än skillnaden mellan de två andra sidorna.
- Summan av vinklarna i en triangel överstiger inte 180°.
Satser som inte ingår i absolut geometri
Den moderna axiomatiken i euklidisk geometri (som Hilberts axiomatik ) är komplett , det vill säga alla korrekta påståenden i denna teori kan bevisas eller motbevisas. Absolut geometri är ofullständig: eftersom det femte postulatet definierar de metriska egenskaperna för ett homogent utrymme betyder dess frånvaro i absolut geometri att rymdmetriken inte är definierad, och de flesta mätningsrelaterade satser (som Pythagoras sats eller triangelsumman av vinklar teorem ) kan inte bevisas i absolut geometri [6] .
Andra exempel på satser som inte ingår i absolut geometri:
Variationer och generaliseringar
I absolut geometri existerar alltid parallella linjer (se satser 27 och 28 i Euklids element , bevisade utan att förlita sig på det femte postulatet), så sfärisk geometri , där det inte finns några parallella linjer, är oförenlig med absolut geometri. Det är dock möjligt att konstruera en axiomatik som förenar alla tre typerna av icke- euklidiska geometrier (euklidisk, sfärisk och Lobatjovskij geometri) [8] , och då kan den absoluta geometrin definieras som deras gemensamma del. Denna nya definition är bredare än den gamla - till exempel upphör satsen "summan av vinklarna i en triangel inte överstiger 180 °" att vara sann.
Anteckningar
- ↑ Absolut geometri // Matematisk uppslagsverk (i 5 volymer) . - M .: Soviet Encyclopedia , 1977. - T. 1. - S. 34.
- ↑ Högre geometri, 1971 , sid. 88--89.
- ↑ Bolai J. Appendix Arkivexemplar daterad 21 april 2013 på Wayback Machine // On the Foundations of Geometry (artikelsamling), M., GITTL, 1956. Serien "Classics of Natural Science".
- ↑ 1800-talets matematik. Volym II: Geometri. Theory of Analytic Functions / Ed. Kolmogorova A. N. , Yushkevich A. P. . - M . : Nauka, 1981. - S. 64-65. — 270 s.
- ↑ Högre geometri, 1971 , sid. 14, 67 och följande, 89.
- ↑ 1 2 school-collection.edu.ru .
- ↑ Se till exempel: Gunter Ewald . Geometri: en introduktion. Wadsworth Publishing. 1:a. 1971, 399 sidor. ISBN 0534000347 .
- ↑ Peil, Timothy. Hilberts axiom modifierade för plan elliptisk geometri . // Undersökning av geometri . Hämtad 18 oktober 2016. Arkiverad från originalet 19 oktober 2016.
Litteratur
- Hilbert D. Geometrins grunder. - M. - L. : GITTL, 1948. - 492 sid. - (Klassiker inom naturvetenskap. Matematik, mekanik, fysik, astronomi).
- Efimov N. V. Högre geometri. - 7:e uppl. — M .: Fizmatlit, 1971.
- Återutgivning: 2004, Fizmatlit förlag, ISBN 5-9221-0267-2 .
Länkar
- Absolut geometri . - på den federala portalen School-collection.edu.ru. Hämtad: 9 november 2018.
 I bibliografiska kataloger |
|---|