Alternativ matris

Alternant matris [1] [2] ( engelska Alternant matris ) - i linjär algebra, en matris av en speciell typ av dimension , specificerad med hjälp av element och funktioner så att varje element i matrisen [3] eller, i expanderad form: $m\ gånger n$ $m$ $\alpha _{1},\alpha _{2},\dots \alpha _{m}$ $n$ $f_{1},f_{2},\dots f_{n}$ $M_{{i,j}}=f_{j}(\alpha _{i})$

M={\begin{bmatrix}f_{1}(\alpha _{1})&f_{2}(\alpha _{1})&\dots &f_{n}(\alpha _{1})\\f_ {1}(\alpha _{2})&f_{2}(\alpha _{2})&\dots &f_{n}(\alpha _{2})\\f_{1}(\alpha _{3 })&f_{2}(\alpha _{3})&\dots &f_{n}(\alpha _{3})\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\f_{1}(\ alpha _{m})&f_{2}(\alpha _{m})&\dots &f_{n}(\alpha _{m})\\\end{bmatrix}}

Ibland definieras den alternativa matrisen i transponerad form .

Exempel och användningsområden för alternativa matriser

Ett vanligt och ofta förekommande specialfall av en alternativ matris är Vandermonde-matrisen . Den alternativa matrisen har denna form vid . (Vissa författare kallar Vandermonde-matrisalternativet [4] [5] .) Ett mer sällsynt specialfall av en alternativ matris är Moore-matrisen $f_{i}(\alpha )=\alpha ^{{i-1}}$ , där . $f_{i}(\alpha )=\alpha ^{{q^{{i-1}}}}$

Mer generellt tillämpas alternativa matriser i kodningsteori .

Egenskaper för alternativa matriser

Om den ursprungliga alternativa matrisen är kvadratisk och om alla funktioner är polynom , så är under villkoret för alla determinanter av den alternativa matrisen lika med noll, och är således en divisor av determinanten för en sådan alternativ matris för alla , uppfyller villkoret . Därför Vandermonde determinant $f_{j}(x)$ $\alpha _{i}=\alpha _{j}$ $i<j$ $(\alpha _{j}-\alpha _{i})$ $I j$ $1\leq i<j\leq n$

V={\begin{bmatrix}1&\alpha _{1}&\dots &\alpha _{1}^{{n-1}}\\1&\alpha _{2}&\dots &\alpha _{ 2}^{{n-1}}\\1&\alpha _{3}&\dots &\alpha _{3}^{{n-1}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&\alpha _{n}&\dots &\alpha _{n}^{{n-1}}\\\end{bmatrix}}

lika är också en divisor av bestämningsfaktorerna för sådana alternativa matriser. Relationen bär det speciella namnet " bialternant ". $\prod _{{i<j}}(\alpha _{j}-\alpha _{i})$ ${\frac {\det M}{\det V))$

Observera också att i fallet när får vi den klassiska definitionen av Schur-polynom . $f_{j}(x)=x^{{m_{j}}}$

Se även

Litteratur

AC Aitken. Determinanter och matriser. — 9:e upplagan. - Edinburgh: Oliver and Boyd Ltd, 1956. - S. 111-123. — 144 sid.
Richard P Stanley. Enumerativ kombinatorik. - Cambridge University Press, 1999. - V. 2. - S. 334-342. — ISBN 0521560691 .
Thomas Muir . En avhandling om teorin om determinanter. - Mineola, NY: Dover Publications, 2003. - P. 321-363. — 766 sid. — ISBN 0486495531 .

Anteckningar

↑ alternativ matris // Stor engelsk-rysk och rysk-engelsk ordbok . – 2001. (ryska)
↑ Alternativ matris . Multitran.ru. Hämtad 17 november 2012. Arkiverad från originalet 10 november 2014. (obestämd)
↑ A.C. Aitken. Determinanter och matriser. — 9:e upplagan. - Edinburgh: Oliver and Boyd Ltd, 1956. - S. 112. - 144 sid.
↑ Hrishikesh D. Vinod. Praktisk matrisalgebra med R: aktivt och motiverat lärande med applikationer. - Singapore: World Scientific, 2011. - S. 290. - 329 sid. — ISBN 9814313688 .
↑ Marvin Marcus, Henryk Minc. En kartläggning av matristeori och matrisojämlikheter . - New York: Dover, 1992. - S. 15 . — 180 s. — ISBN 048667102X .