Alternativ

Alternativ ( binär associativitet ) är en egenskap hos en binär operation , som är en försvagad version av associativitet : för alla element $\cirkel$ $x,\;y$

$\ (x \circ y) \circ y=x \circ (y \circ y)$ - rätt alternativ,
$\ y \circ (y \circ x)=(y \circ y) \circ x$ - vänsteralternativ.

Varje associativ operation är alternativ; det omvända är inte sant i allmänhet: till exempel är multiplikation av oktonioner alternativ men inte associativ.

I alla magma vars elementpar genererar en associativ submagma är den binära operationen alternativ. Det omvända är inte sant i det allmänna fallet, men i fallet med icke-associativa ringar , innebär ringens alternativhet associativiteten hos underringarna som genereras av varje par av element ( Artins teorem ).

Historiskt sett är det första exemplet på en alternativ struktur Cayley-talen , som bildar en alternativ kropp ; viktiga tillämpningar inom fysiken finns i alternativa algebror .

Ett annat alternativ för att försvaga associativiteten är maktassociativitet . Ibland anses denna egenskap vara svagare än alternativitet, eftersom alternativitet under vissa ytterligare förhållanden innebär maktassociativitet, men i allmänhet är detta inte fallet: till exempel för en magma av element med alternativ multiplikation införd enligt följande: $e_{\star },e_{1},e_{2}\dots$

${\displaystyle e_{i}\circ e_{j}=e_{i+j))$ förutom , ${\displaystyle e_{3}\circ e_{3}=e_{\star ))$
${\displaystyle e_{\star }\circ e_{i}=e_{i}\circ e_{\star }=e_{i+6))$ ,
${\displaystyle e_{\star }\circ e_{\star }=e_{12))$

maktassociativitet misslyckas:

((e_{1}\circ e_{1})\circ e_{1})\circ ((e_{1}\circ e_{1})\circ e_{1})=e_{3} \circ e_{3}=e_{\star }\neq e_{6}=e_{1}^{6}

Litteratur

Kurosh A.G. General Algebra . - M . : Mir , 1970. - 162 sid.
Cohn P. Universal Algebra . - Moskva: Mir , 1968. - 351 sid.
Alternativa ringar och algebras - artikel från Encyclopedia of Mathematics . K. A. Zhevlakov