Antikommutativitet

Antikommutativitet är en egenskap hos en multiplikativ binär operation i ringen : . $x^{2}=x\cdot x=0$

Identitet följer av definitionen eftersom uttrycket är lika med: $x\cdot y+y\cdot x=0$ $(x+y)\cdot (x+y)$

{\begin{aligned}0&=x\cdot (x+y)+y\cdot (x+y)=\\&=x\cdot x+x\cdot y+y\cdot x+y\ cdot y=\\&=x\cdot y+y\cdot x\\\end{aligned}}

Om ringen inte är en nolldelare , så följer själva identiteten av och de visar sig vara likvärdiga; men i det allmänna fallet är detta inte fallet (till exempel i algebror över ett fält med egenskap 2 är den första identiteten starkare än den andra). $2=1+1$ $x\cdot x=0$ $x\cdot y+y\cdot x=0$

Begreppet uppkom i samband med Lie algebras , där multiplikation tillfredsställer identiteten (liksom ). Ett klassiskt exempel på en antikommutativ operation är vektorprodukten , för vilken (i motsats till den kommutativa skalärprodukten ). $x\cdot y=-y\cdot x$ $x^{2}=0$ $x\ gånger y=-y\ gånger x$

Några antikommutativa algebror : Maltsev-algebror , algebra för yttre former , algebra för härledningar av differentialformer , algebra för tangentiellt värderade former .

En multiplikation i en graderad algebra kallas graderad antikommutativ om, för några element av , , är sant: $\Omega = \oplus_{i} \Omega^i$ $\omega_m \in \Omega^m$ $\omega_k \in \Omega^k$

\omega _{m}\cdot \omega _{k}+(-1)^{mk+1}\omega _{k}\cdot \omega _{m}=0

Litteratur

Skornyakov L. A., Shestakov I. P. . Kapitel III. Ringar och moduler // Allmän algebra / Ed. ed. L. A. Skonyakova . - M . : Science , 1990. - T. 1. - S. 291-572. — 592 sid. — (Referens matematiskt bibliotek). — 30 000 exemplar. — ISBN 5-02-014426-6 .