Anti-hermitisk matris

I matematik är en anti- hermitisk eller skev-hermitisk matris en kvadratisk matris A vars hermitiska konjugation ändrar tecknet på den ursprungliga matrisen:

A^{\dolk }=-A,

eller element för element:

a_{i,j}=-{\overline {a_{j,i))},

där betecknar den komplexa konjugationen av talet . $\overline{x}$ $x$

Egenskaper

Matrisen B är hermitisk om och endast om matrisen i B är anti- hermitisk. Detta innebär att om A är anti-hermitisk, så är matriserna ±iA hermitiska. Dessutom kan vilken anti-hermitisk matris A som helst representeras som A = iB , där B är hermitisk. Således kan egenskaperna hos anti-hermitiska matriser uttryckas med hjälp av egenskaperna hos hermitiska och vice versa.
Matrisen A är anti-hermitisk om och endast om för några vektorer och (formen är anti-hermitisk). $X^{\dolk }A^{\dolk }Y=-X^{\dolk }AY$ $X$ $Y$ $X^{\dolk }AY$
Anti-hermitiska matriser stängs under addition, multiplikation med ett reellt tal, höjning till en udda potens, inversion (icke-singularmatriser).
Anti-hermitiska matriser är normala .
En jämn kraft hos en anti-hermitisk matris är en hermitisk matris. I synnerhet om det är anti-hermitiskt, så är det hermitiskt. $A$ $A^{2}$
Egenvärdena för en anti-hermitisk matris är antingen noll eller rent imaginära .
Vilken kvadratisk matris som helst kan representeras som summan av en hermitisk och en anti-hermitisk:

M=M_{h}+M_{a}

, var

M_{h}={\frac {1}{2}}(M+M^{\dolk })

— Hermitian,

M_{a}={\frac {1}{2}}(MM^{\dolk })

- anti-hermitian.

En matris är anti-hermitisk om och endast om dess exponent är enhetlig . $A$ $e^{A}$

Anti-hermitiska matriser bildar Lie-algebra av Lie - gruppen . ${\mathfrak {u}}(n)$ $Fn)$

För alla komplexa tal så att , det finns en en-till-en-överensstämmelse mellan enhetsmatriser som inte har egenvärden lika med , och anti-hermitiska matriser , givna av Cayley-formlerna: $\lambda$ $|\lambda |=1$ $U$ $a$ $A$

U=\lambda (AI)(A+I)^{-1},

A=\lambda (aI+U)(aI-U)^{-1},

jag

I synnerhet när :

\lambda =-1

U=(IA)(I+A)^{-1},

A=(IU)(I+U)^{-1}.