Matrisexponent

Matrisexponenten är en matrisfunktion av en kvadratisk matris , liknande den vanliga exponentialfunktionen . Matrisexponenten upprättar en koppling mellan Lie-algebra av matriser och motsvarande Lie-grupp .

För en reell eller komplex matris av storlek är exponenten för , betecknad som eller , matrisen som definieras av potensserien : $X$ $n\ gånger n$ $X$ $e^{X}$ $\exp(X)$ $n\ gånger n$

e^{X}=\summa _{{k=0}}^{\infty }{1 \över k!}X^{k}

var är matrisens k: te potens . Denna serie konvergerar alltid, så exponenten för är alltid väldefinierad. $X^{k}$ $X$ $X$

Om är en matris av storlek , då är matrisexponenten av en matris av storlek , vars enda element är lika med den vanliga exponenten för ett enskilt element . $X$ $1 gånger 1$ $X$ $1 gånger 1$ $X$

Egenskaper

Grundläggande egenskaper

För komplexa matriser och storlek , godtyckliga komplexa tal och , identitetsmatris och nollmatris , har exponenten följande egenskaper: $X$ $Y$ $n\ gånger n$ $a$ $b$ $E$ $0$

$\exp 0=E$ ;
$\exp aX\exp bX=\exp \left((a+b)X\höger)$ ;
$\exp X\exp \left(-X\right)=E$ ;
om , då ; $XY=YX$ $\exp X\exp Y=\exp Y\exp X=\exp(X+Y)$
if är en icke-singular matris , då . $Y$ $\exp(YXY^{{-1}})=Y\exp(X)Y^{{-1}}$
$\exp X^{{\mathrm T}}=(\exp X)^{{\mathrm T}}$ , där betecknar den omvandlade matrisen för , därav följer att om är symmetrisk , då är den också symmetrisk, och om är en skev-symmetrisk matris , då är den ortogonal ; $X^{{\mathrm T}}$ $X$ $X$ $\exp X$ $X$ $\exp X$
$\exp(X^{*})=(\exp X)^{*}$ , där betecknar den hermitiska konjugerade matrisen för , därav följer att om är en hermitisk matris , då är den också hermitisk, och om är en anti- hermitisk matris , då är den enhetlig . $X^{*}$ $X$ $X$ $\exp X$ $X$ $\exp X$

System av linjära differentialekvationer

En av anledningarna till att matrisexponenten är viktig är att den kan användas för att lösa system med vanliga differentialekvationer [1] . Systemlösning:

{\frac {d}{dt}}y(t)=Ay(t),\quad y(0)=y_{0}

där är en konstant matris, ges av: $A$

y(t)=e^{At}y_{0}.

Matrisexponenten kan också användas för att lösa inhomogena formekvationer

{\frac {d}{dt}}y(t)=Ay(t)+z(t),\quad y(0)=y_{0}

Det finns inget slutet analytiskt uttryck för lösningar av icke-autonoma differentialekvationer av formen

{\frac {d}{dt}}y(t)=A(t)\,y(t),\quad y(0)=y_{0}

där är inte en konstant, men Magnus-expansionen gör det möjligt att få en representation av lösningen som en oändlig summa. $A$

Summa exponent

För två valfria reella tal (skalärer) och exponentialfunktionen uppfyller ekvationen , samma egenskap gäller för symmetriska matriser - om matriserna och pendlar (dvs ), då . Men för icke-pendlingsmatriser är denna likhet inte alltid sann; i det allmänna fallet används Baker-Campbell-Hausdorff-formeln för beräkning . $x$ $y$ ${\displaystyle e^{x+y}=e^{x}\cdot e^{y))$ $X$ $Y$ $XY=YX$ $\exp(X+Y)=\exp(X)\exp(Y)$ $\exp(X+Y)$

I det allmänna fallet innebär inte jämlikheten det och pendlar. $\exp(X+Y)=\exp(X)\exp(Y)$ $X$ $Y$

För hermitiska matriser finns det två anmärkningsvärda satser relaterade till spåret av matrisexponenter.

The Golden-Thompson ojämlikhet

Om och är hermitiska matriser, då [2] : $A$ $H$

\operatörsnamn {tr}\exp(A+H)\leqslant \operatörsnamn {tr}(\exp(A)\exp(H))

var är spåret av matrisen . Kommutativitet krävs inte för att detta uttalande ska hålla. Det finns motexempel som visar att Golden-Thompson-ojämlikheten inte kan utökas till tre matriser, och är inte alltid ett reellt tal för de hermitiska matriserna , och . $\operatörsnamn {tr}X$ $X$ $\operatörsnamn {tr}(\exp(A)\exp(B)\exp(C))$ $A$ $B$ $C$

Liebs teorem

Liebs teorem, uppkallad efter Elliott Lieb , säger att för en fast hermitisk matris är funktionen: $H$

f(A)=\operatörsnamn {tr}\,\exp \left(H+\log A\right)

är konkav på konen av positiv-definita matriser [3] .

Exponentiell mappning

Exponenten för en matris är alltid en icke- singular matris . Inversen av matrisen är , vilket är analogt med det faktum att exponenten för ett komplext tal aldrig är noll. Så matrisexponenten definierar mappningen: $\exp X$ $\exp(-X)$

\exp \colon M_{n}(\mathbb {C} )\to \mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )

från utrymmet för alla matriser av dimension till den fullständiga linjära gruppen av ordning , det vill säga gruppen av alla icke degenererade matriser av dimension . Denna mappning är en surjektion , det vill säga varje icke-singular matris kan skrivas som en exponent för någon annan matris (för att detta ska ske är det nödvändigt att överväga fältet av komplexa tal , inte reella tal ). $n\ gånger n$ $n$ $n\ gånger n$ $\mathbb {C}$ $\mathbb {R}$

För vilka två matriser som helst och vi har ojämlikheten $X$ $Y$

\|e^{{X+Y}}-e^{X}\|\leqslant \|Y\|e^{{\|X\|}}e^{{\|Y\|}}

där betecknar en godtycklig matrisnorm . Det följer att den exponentiella mappningen är kontinuerlig och Lipschitz på kompakta delmängder . $\|\cdot \|$ $M_{n}(\mathbb {C} )$

Visa:

t\mapsto e^{{tX}},\qquad t\in {\mathbb R}

definierar en jämn kurva i den allmänna linjära gruppen som passerar genom identitetselementet vid . $t = 0$

Applikationer

Linjära differentialekvationer

Ett exempel på ett homogent system

För systemet:

{\begin{matrix}x'&=&2x&-y&+z\\y'&=&&3y&-1z\\z'&=&2x&+y&+3z~.\end{matris))

dess matris är:

A={\begin{bmatrix}2&-1&1\\0&3&-1\\2&1&3\end{bmatrix}}~.

Det kan visas att exponenten för matrisen är $tA$

e^{{tA}}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}e^{{2t}}(1+e^{{2t}}-2t)&-2te^{{ 2t}}&e^{{2t}}(-1+e^{{2t}})\\-e^{{2t}}(-1+e^{{2t}}}-2t)&2(t+ 1 )e^{{2t}}&-e^{{2t}}(-1+e^{{2t}})\\e^{{2t}}(-1+e^{{2t}} + 2t)&2te^{{2t}}&e^{{2t}}(1+e^{{2t}})\end{bmatrix}}~,

så den allmänna lösningen på detta system är:

{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\frac {x(0)}{2}}{\begin{bmatrix}e^{{2t}}(1+e ^{{2t}}-2t)\\-e^{{2t}}(-1+e^{{2t}}-2t)\\e^{{2t}}(-1+e^{{ 2t}}+2t)\end{bmatrix}}+{\frac {y(0)}{2}}{\begin{bmatrix}-2te^{{2t}}\\2(t+1)e^ {{2t}}\\2te^{{2t}}\end{bmatrix}}+{\frac {z(0)}{2}}{\begin{bmatrix}e^{{2t}}(-1 +e^{{2t}})\\-e^{{2t}}(-1+e^{{2t}})\\e^{{2t}}(1+e^{{2t}} )\end{bmatrix}}~.

Ett exempel på ett inhomogent system

För att lösa ett inhomogent system:

{\begin{matrix}x'&=&2x&-&y&+&z&+&e^{{2t}}\\y'&=&&&3y&-&z&\\z'&=&2x&+&y&+&3z&+&e^{{2t} }\end{matris}}

notationer introduceras:

A=\left[{\begin{array}{rrr}2&-1&1\\0&3&-1\\2&1&3\end{array}}\right]~,

och

{\mathbf {b}}=e^{{2t}}{\begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix}}

Eftersom summan av den allmänna lösningen av en homogen ekvation och en speciell lösning ger den allmänna lösningen av en inhomogen ekvation, återstår bara att hitta en speciell lösning. Därför att:

{\mathbf {y}}_{p}=e^{{tA}}\int _{0}^{t}e^{{(-u)A}}{\begin{bmatrix}e^{{ 2u}}\\0\\e^{{2u}}\end{bmatrix}}\,du+e^{{tA}}{\mathbf {c}}

{\mathbf {y}}_{p}=e^{{tA}}\int _{0}^{t}{\begin{bmatrix}2e^{u}-2ue^{{2u}}&- 2ue^{{2u}}&0\\\\-2e^{u}+2(u+1)e^{{2u}}&2(u+1)e^{{2u}}&0\\\\ 2ue^{{2u}}&2ue^{{2u}}&2e^{u}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}e^{{2u}}\\0\\e^{{2u}} \end{bmatrix}}\,du+e^{{tA}}{\mathbf {c}}

{\mathbf {y}}_{p}=e^{{tA}}\int _{0}^{t}{\begin{bmatrix}e^{{2u}}(2e^{u}-2ue ^{{2u}})\\\\e^{{2u}}(-2e^{u}+2(1+u)e^{{2u}})\\\\2e^{{3u} }+2ue^{{4u}}\end{bmatrix}}\,du+e^{{tA}}{\mathbf {c}}

{\mathbf {y}}_{p}=e^{{tA}}{\begin{bmatrix}-{1 \over 24}e^{{3t}}(3e^{t}(4t-1) -16)\\\\{1 \över 24}e^{{3t}}(3e^{t}(4t+4)-16)\\\\{1 \över 24}e^{{3t} }(3e^{t}(4t-1)-16)\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}2e^{t}-2te^{{2t}}&-2te^{{2t}} &0\\\\-2e^{t}+2(t+1)e^{{2t}}&2(t+1)e^{{2t}}&0\\\\2te^{{2t}} &2te^{{2t}}&2e^{t}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}c_{1}\\c_{2}\\c_{3}\end{bmatrix}}~,

var är det ursprungliga tillståndet. ${\mathbf c}={\mathbf y}_{p}(0)$

Generalisering: variation av en godtycklig konstant

I fallet med ett inhomogent system kan metoden för variation av en godtycklig konstant användas. Vi letar efter en speciell lösning i formen : ${\mathbf y}_{p}(t)=\exp(tA){\mathbf z}(t)$

{\begin{aligned}{\mathbf {y}}_{p}'(t)&=(e^{{tA}})'{\mathbf {z}}(t)+e^{{tA} }{\mathbf {z}}'(t)\\[6pt]&=Ae^{{tA}}{\mathbf {z}}(t)+e^{{tA}}{\mathbf {z} }'(t)\\[6pt]&=A{\mathbf {y}}_{p}(t)+e^{{tA}}{\mathbf {z}}'(t)~.\end {Justerat}}

För en lösning måste följande ske: ${\mathbf y}_{p}$

{\begin{aligned}e^{{tA}}{\mathbf {z}}'(t)&={\mathbf {b}}(t)\\[6pt]{\mathbf {z}}'( t)&=(e^{{tA))^{{-1}}{\mathbf {b}}(t)\\[6pt]{\mathbf {z}}(t)&=\int _ { 0}^{t}e^{{-uA}}{\mathbf {b}}(u)\,du+{\mathbf {c}}~.\end{aligned}}

På det här sättet:

{\begin{aligned}{\mathbf {y}}_{p}(t)&{}=e^{{tA}}\int _{0}^{t}e^{{-uA}}{ \mathbf {b}}(u)\,du+e^{{tA}}{\mathbf {c}}\\&{}=\int _{0}^{t}e^{{(tu) A}}{\mathbf {b}}(u)\,du+e^{{tA}}{\mathbf {c}}\end{aligned}}~,

var bestäms från de initiala förhållandena för problemet. ${\mathbf {c}}$

Se även

Trigonometriska funktioner från en matris

Anteckningar

↑ Piskunov H. S. Differential- och integralkalkyl för högre läroanstalter, vol. 2 .: Lärobok för högre läroanstalter. - 13:e upplagan - M . : Nauka, Huvudupplagan av fysisk och matematisk litteratur, 1985. - S. 544-547. — 560 sid.
↑ Bhatia, R. Matrisanalys (ospecificerad) . - Springer, 1997. - V. 169. - (Examinerade texter i matematik). — ISBN 978-0-387-94846-1 .
↑ EH Lieb. Konvexa spårningsfunktioner och Wigner-Yanase-Dyson-förmodan // Adv . Matematik. : journal. - 1973. - Vol. 11 , nr. 3 . - s. 267-288 . - doi : 10.1016/0001-8708(73)90011-X .

Länkar

Weisstein, Eric W., "Matrix Exponential" , MathWorld
Modul för Matrix Exponential