Matrisfunktion

I matematik är en matrisfunktion en funktion som mappar en matris till en annan matris.

Utöka en skalär funktion till en matrisfunktion

Det finns flera metoder för att omvandla en funktion av en reell variabel till en funktion av en kvadratisk matris som bevarar de intressanta egenskaperna hos denna funktion. Alla metoder nedan ger samma matrisfunktion, men deras domäner kan skilja sig åt.

Power series

Om en verklig funktion kan representeras som en Taylor-serie $f$

f(x)=f(0)+f'(0)\cdot x+f''(0)\cdot {\frac {x^{2}}{2!}}+\cdots

då kan matrisfunktionen definieras genom att ersätta med en matris: potenser blir matris , addition blir summan av matriser och multiplikation blir multiplikationen av en matris med ett tal. Om en reell serie konvergerar vid , då konvergerar motsvarande matrisserie för matriser A som uppfyller villkoret i någon matrisnorm som uppfyller olikheten . $x$ $|x|<r$ $\|A\|<r$ $\|\cdot \|$ $\|AB\|\leq \|A\|\cdot \|B\|$

Jordans nedbrytning

Låt matrisen A reduceras till en diagonal form, det vill säga vi kan hitta en matris P och en diagonal matris D så att . Genom att tillämpa definitionen i termer av potensserier på denna expansion får vi det som bestäms av uttrycket ${\displaystyle A=P\cdot D\cdot P^{-1))$ $fa)$

f(A)=P{\begin{bmatrix}f(d_{1})&\dots &0\\\vdots &\ddots &\vdots \\0&\dots &f(d_{n})\end {bmatrix}}P^{-1},

där anger de diagonala elementen i matrisen D . ${\displaystyle d_{1},\dots ,d_{n))$

Vilken matris som helst kan reduceras till Jordans normalform , där matrisen J består av Jordanceller . Betrakta dessa block separat och tillämpa power series-metoden på varje Jordan-cell: ${\displaystyle A=P\cdot J\cdot P^{-1))$

Denna definition kan användas för att utvidga domänen för en matrisfunktion bortom mängden matriser vars spektralradie är mindre än konvergensradien för den ursprungliga potensserien. Vi noterar också sambandet med delade skillnader .

Ett relaterat koncept är Jordan-Chevalley-sönderdelningen , som representerar en matris som summan av en diagonaliserbar och en nilpotent del.

Hermitiska matriser

Enligt spektralsatsen har en hermitisk matris endast reella egenvärden och kan alltid reduceras till diagonal form av en enhetlig matris P. I det här fallet är den jordanska definitionen naturlig. Dessutom fortsätter denna definition standardojämlikheterna för verkliga funktioner:

Om för alla egenvärden av matrisen , då . (är enligt konvention en positiv semidefinitiv matris ). Beviset följer direkt av definitionen. $f(a)\leq g(a)$ $A$ $f(A)\preceq g(A)$ $X\preceq Y\Leftrightarrow YX$

Cauchy integral

Cauchy-integralformeln från komplex analys kan också användas för att generalisera skalära funktioner till matrisfunktioner. Cauchys integralformel säger att för varje analytisk funktion f definierad på en mängd D ⊂ℂ, har vi

f(x)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {f(z)}{zx}}\,\mathrm {d} z

där C är en sluten kurva inuti domänen D som omsluter punkten x . Låt oss nu ersätta x med matrisen A och betrakta konturen C som ligger inuti D och omsluter alla matrisens egenvärden . En av de möjliga konturerna C är en cirkel inklusive origo , med radie som överskrider för en godtycklig norm . Sedan bestäms det av uttrycket $\scriptstyle \|A\|$ $\scriptstyle \|\cdot \|$ $fa)$

f(A)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{f(z)(zI-A)^{-1}}\,\mathrm {d} z~.

Denna integral kan beräknas numeriskt med den trapetsformade metoden , som i detta fall konvergerar exponentiellt. Det betyder att noggrannheten för resultatet fördubblas när antalet noder fördubblas.

Denna idé, applicerad på linjära avgränsade operatorer på Banach-utrymmen , som kan betraktas utan oändligt dimensionella matriser, leder till en holomorf funktionell kalkyl .

Matrisstörningar

Taylor-serien ovan tillåter ersättning av en skalär med en matris. Men detta är otillåtet i det allmänna fallet, när nedbrytningen utförs i termer i närheten av punkten , med undantag för de fall då . Ett motexempel är en funktion vars Taylor-serie innehåller ett ändligt antal termer. Låt oss beräkna det på två sätt. $x$ $A(\eta )=A+\eta B$ $\eta =0$ $[A,B]=0$ ${\displaystyle f(x)=x^{3))$

Direkt:

f(A+\eta B)=(A+\eta B)^{3}=A^{3}+\eta (A^{2}B+ABA+BA^{2})+\eta ^ {2}(AB^{2}+BAB+B^{2}A)+\eta ^{3}B^{3}

Använda Taylor-expansion för en skalär funktion och ersätta skalärer med matriser i slutet: $f(a+\eta b)$

f(a+\eta b)=f(a)+f'(a){\frac {\eta b}{1!))+f''(a){\frac {(\eta b) ^{2}}{2!}}+f'''(a){\frac {(\eta b)^{3}}{3!}}=a^{3}+3a^{2}( \eta b)+3a(\eta b)^{2}+(\eta b)^{3}\till A^{3}+3A^{2}(\eta B)+3A(\eta B) ^{2}+(\eta B)^{3}

Det skalära uttrycket antyder kommutativitet , men det gör inte matrisuttrycket, så de kan inte likställas om inte villkoret är uppfyllt . För vissa f(x) kan man göra samma sak som för den skalära Taylor-serien. Till exempel för : om det finns , då . Sedan $[A,B]=0$ $f(x)={\frac {1}{x}}$ $A^{{-1}}$ $f(A+\eta B)=f(E+\eta A^{-1}B)f(A)$

f(E+\eta A^{-1}B)=E-\eta A^{-1}B+(-\eta A^{-1}B)^{2}+\ldots =\summa _{n=0}^{\infty }(-\eta A^{-1}B)^{n}

För att denna effektserie ska konvergera krävs att motsvarande matrisnorm är tillräckligt liten. I det allmänna fallet, när en funktion inte kan skrivas om på ett sådant sätt att två matriser pendlar, måste ordningen för matrismultiplikation beaktas när Leibniz-regeln tillämpas. $\Vert \eta A^{-1}B\Vert$

Exempel

Algebraisk Riccati-ekvation
Matrispolynom
Matrisrot
Matrislogaritm
Matrisexponent

Klasser av matrisfunktioner

Genom att använda semi-definita matrisordningar ( är en positiv semi-definitiv matris och är en positiv-definitiv matris), kan vissa klasser av skalära funktioner utökas till funktioner av hermitiska matriser [1] . $X\preceq Y\Leftrightarrow YX$ $X\prec Y\Leftrightarrow YX$

Operatörs monotoni

En funktion kallas operator monoton if $f$

$0\prec A\preceq H\Rightarrow f(A)\preceq f(H)$ för alla självadjoinerande matriser vars spektrum tillhör domänen för funktionen f . Detta är analogen till den monotona funktionen för skalära funktioner. $A,H$

Operatörskonvexitet/konkavitet

En funktion sägs vara operatörskonkav om och endast om $f$

\tau f(A)+(1-\tau )f(H)\preceq f\left(\tau A+(1-\tau )H\right)

för alla självanslutande matriser med spektrum i domänen för funktionen f och för . Denna definition liknar konkava skalära funktioner . En operatörskonvex funktion kan vara genom att ersätta den med i föregående definition. $A,H$ $\tau \in [0,1]$ $\preceq$ $\succeq$

Exempel

Matrislogaritmen är både operator-monotone och operator-konkav. Matriskvadraten är operatorkonvex. Matrisexponenten tillhör inte någon av de angivna klasserna. Löwners teorem säger att en funktion på ett öppet intervall är operatormonoton om och endast om den har en analytisk fortsättning till de övre och nedre komplexa halvplanen så att det övre halvplanet avbildas på sig självt. [ett]

Se även

Sylvester formel
Matriskalkyl
Spåra ojämlikheter

Anteckningar

↑ 1 2 Bhatia, R. Matrisanalys (obestämd) . - Springer, 1997. - V. 169. - (Examinerade texter i matematik).

Litteratur

Higham, Nicholas J. (2008). Funktioner av matristeori och beräkning . Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics. ISBN 9780898717778.