Fälttornet

Ett torn av fält är en sekvens av förlängningar för något fält : , som kan vara ändligt eller oändligt. Ofta skrivet vertikalt: $K$ $K\subset K_{1}\subset \dots \subset K_{i}\subset \dots$

{\begin{array}{c}\vdots \\|\\K_{i}\\|\\\vdots \\|\\K_{1}\\|\\K\end{array))

Till exempel är ett ändligt torn av förlängningar av fältet för rationella tal , som successivt inkluderar fälten av reella och komplexa tal. $\mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C}$

Ett normalt fälttorn är en sekvens av normala förlängningar , ett separerbart fälttorn är en sekvens av separerbara förlängningar , ett abeliskt fälttorn är en sekvens av abelska förlängningar .

Det klassiska problemet med löslighet i polynomradikaler, löst med hjälp av Galois teori , kan formuleras i termer av fälttorn: löslighet är ekvivalent med nedsänkningen av fältet av koefficienter för ett givet polynom i ett normalt och abeliskt fälttorn.

Klassfälttornet är ett fälttorn byggt över något fält av algebraiska siffror , vars varje element är den maximala ablianska förlängningen av den föregående. Ett av resultaten av klassfältteorin , som medför viktiga konsekvenser för algebraisk talteori, är den negativa lösningen av det obegränsade Burnside-problemet ( Golod-Shafarevich-satsen ), på klassfältens språk formuleras det på följande sätt: det finns oändliga torn av fältklasser [1] [2] (särskilt sådant är tornet byggt över utvidgningen av fältet av rationella tal som erhålls genom att addera numret ). ${\sqrt {30030}}$

Anteckningar

↑ Golod E. S. På nollalgebror och ändligt approximerbara p-grupper // Izvestiya AN SSSR. Matematisk serie. - 1964. - T. 28, nummer 2 . - S. 273-276 .
↑ Golod E. S. , Shafarevich I. R. På tornet av klassfält // Izvestia från USSR:s vetenskapsakademi. Matematisk serie. - 1964. - T. 28, nummer 2 . - S. 261-272 .

Litteratur

I. M. Vinogradov. Torn av fält // Matematisk uppslagsverk. — M.: Sovjetiskt uppslagsverk . - 1977-1985. (ryska)