Ett oändligt system av linjära algebraiska ekvationer

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 7 november 2021; kontroller kräver 2 redigeringar .

Ett oändligt system av linjära algebraiska ekvationer är en generalisering av begreppet ett system av linjära algebraiska ekvationer till fallet med en oändlig uppsättning okända, definierade av metoder för funktionell analys . Det är inte vettigt över något fält , utan till exempel över reella och komplexa tal. Det är också möjligt att ha en enkel generalisering med metoder för korrekt linjär algebra , som skiljer sig från den som beskrivs i artikeln.

Ett oändligt system av linjära algebraiska ekvationer dyker ofta upp i processen att lösa olika problem inom fysik och teknik med hjälp av metoden för obestämda koefficienter , till exempel i problem med värmeledning, bestämning av perihelionen av månens rörelse i astronomi, i problemet med bestämma den statiska avböjningen av en rektangulär kropp med fasta ändar. [ett]

Definition

Ett oändligt system av linjära algebraiska ekvationer är en oändlig uppsättning algebraiska ekvationer av första graden med avseende på en oändlig uppsättning okända: , . En lösning på ett oändligt system av linjära algebraiska ekvationer är vilken sekvens av tal som helst så att alla serier konvergerar till . Lösningen av ett oändligt system av linjära algebraiska ekvationer kallas bounded om talen bildar en bounded sekvens. ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }a_{ik}x_{k}=b_{i))$ $i=1,2,...$ $\left\{x_{k}\right\}$ ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }a_{ik}x_{k))$ $i=1,2,...$ $bi}}$ $\left\{x_{k}\right\}$ $x_{k}$

Det är bekvämt att betrakta oändliga system av linjära algebraiska ekvationer i formen: , , . Ett oändligt system av linjära algebraiska ekvationer kallas helt regelbundet om det finns en positiv konstant sådan att . ${\displaystyle x_{i}-\sum _{k=1}^{\infty }c_{ik}x_{k}=b_{i))$ $i=1,2,...$ ${\displaystyle c_{ik}=-a_{ik}+\delta _{ik))$ $q<1$ $\sum _{k=1}^{\infty }\left|c_{ik}\right|\leqslant q$

Ett helt regelbundet oändligt system av linjära algebraiska ekvationer har en unik avgränsad lösning för alla begränsade samlingar av fria termer . Dessutom, om för alla , då . [2] $\left\{x_{i}\right\}$ $bi}}$ $b_{i}\leqslant B$ $i=1,2,...$ $\left|x_{i}\right|\leqslant {\frac {B}{1-q))$

Oändlig determinant

I matrisen av koefficienter för ett oändligt linjärt ekvationssystem kan du bara lämna de första raderna och kolumnerna och skapa en kvadratisk matris av storlek från dem : $n$ $n$ $n\ gånger n$

A(n)={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\cdots &a_{2n}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}\end{vmatrix}}

Låt oss beteckna determinanten för denna matris som . $\Delta (n)=det(A(n))$

Om det finns en gräns: , så kallas det en oändlig determinant som motsvarar matrisen [3] . $\Delta =\lim _{n\to \infty }\Delta (n)$ $a_{{ij}}$

Ett tillräckligt villkor för existens

Låt oss representera matrisen i en ny form genom att extrahera summan lika med en från alla dess diagonala medlemmar: ${\displaystyle a_{ij))$

a_{ij}={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots \\a_{21}&a_{22}&\cdots \\\cdots &\cdots &\cdots \end {vmatrix}}={\begin{vmatrix}c_{11}+1&c_{12}&\cdots \\c_{21}&c_{22}+1&\cdots \\\cdots &\cdots &\cdots \end{ vmatrix}}

För att en oändlig matrisdeterminant ska existera och ha egenskaper som liknar de hos en vanlig determinant, är det tillräckligt att den oändliga dubbelserien konvergerar . [3] $a_{{ij}}$ $\sum _{i,k=1}^{\infty }|c_{ik}|$

Lösa ett oändligt system av linjära algebraiska ekvationer

Om matrisen för ett oändligt system av linjära algebraiska ekvationer har en oändlig determinant och inte är lika med noll och alla dess fria termer är avgränsade i ett absolut värde (det vill säga det finns ett positivt tal så att ), så har detta system ett unikt avgränsad lösning (det vill säga det finns ett positivt tal så att , att ) bestäms av Cramers formler : $a_{{ij}}$ $M_{1}$ $|b_{k}|<M_{1},\forall k$ $M_{2}$ $|x_{k}|<M_{1},\forall k$

x_{k}={\frac {\Delta _{k)){\Delta ))

där är determinanten , som erhålls från determinanten genom att ersätta elementen i den k:te kolumnen med fria medlemmar. [fyra] ${\displaystyle \Delta _{k))$ $\Delta$

Se även

System av linjära algebraiska ekvationer

Anteckningar

↑ Smirnov, 1933 , sid. 57-61.
↑ Vulikh, 1958 , sid. 215-218.
↑ 1 2 Smirnov, 1933 , sid. 64.
↑ Smirnov, 1933 , sid. 65.

Litteratur

Vulikh B.Z. Introduktion till funktionsanalys. - M. : Fizmatlit, 1958. - 352 sid. - 7500 exemplar.
Smirnov V. I. Kurs i högre matematik för tekniker och fysiker. Volym 3. - M . : Gostekhteorizdat, 1933. - 736 sid. — 22 000 exemplar.