Bilinjär kartläggning

En bilinjär mappning är en binär mappning av vektorrum som är linjär i vart och ett av de två argumenten.

Konceptet är generaliserat till moduler över en ring : om är en vänster enhetlig -modul, är en höger enhetlig -modul, är en bimodul , då är den bilinjär om den är linjär i vart och ett av de två argumenten ( ): $V\displaystyle$ $A$ $w\displaystyle$ $B$ $X\displaystyle$ $(A,B)$ $f\colon V\times W\to X$ $v,v'\in V;\,w,w'\in W;\,a\in A;\,b\in B$

f(v+v',w)=f(v,w)+f(v',w)

f(av,w)=af(v,w)

f(v,w+w')=f(v,w)+f(v,w')

f(v,wb)=f(v,w)b

Ekvivalent formulering: bilinjär om en linjär mappning är definierad (eller, ekvivalent, en linjär mappning definieras ). $f\colon V\times W\to X$ $f_{1}:V\to {\text{Hom}}(W,X)$ $f_{2}:W\to {\text{Hom}}(V,X)$

En bilinjär form i det mest allmänna fallet är en bilinjär avbildning , där är en vänster enhetlig -modul, är en höger enhetlig -modul och är en ring med identitet betraktad som en -bimodul . En bilinjär operation är en mappning linjär i båda argumenten , såsom multiplikationer i algebror över ringar , såväl som olika typer av matrismultiplikationer . $V\times W\to A$ $V$ $A$ $W$ $A$ $A$ $(A,A)$ $f\colon X\times X\rightarrow X$

Litteratur

Serge Leng. Algebra. - M . : Mir, 1968. - S. 110.
Bilinjär kartläggning - Encyclopedia of Mathematics artikel . V. L. Popov