Binomial transformation

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 21 mars 2017; kontroller kräver 3 redigeringar .

En binomisk transformation är en sekvens av transformationer eller en transformation av en sekvens som beräknar dess ändliga skillnader . Konceptet med den binomala transformationen är nära besläktad med Eulertransformen , som är resultatet av att tillämpa den binomala transformationen på en sekvens .

Definition

Den binomala sekvens -till-sekvens- transformationen är $T$ ${en}}$ ${s_{n))$

s_{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}a_{k}.

Låt oss presentera , var är operatorn , som har oändlig dimension och består av matriselement ${\displaystyle (Ta)_{n}=s_{n))$ $T$ $T_{nk}.$

Operatören har involutionsegenskapen : $T$

TT=1

eller i andra termer ,

{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }T_{nk}T_{km}=\delta _{nm))

var

\delta

är Kronecker-symbolen .

Den ursprungliga raden kan återställas av regeln

a_{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}s_{k}.

Binomialtransformationer av sekvenser är n tecken-alternerande ändliga skillnader :

s_{0}=a_{0}

;

s_{1}=-(\triangle a)_{0}=-a_{1}+a_{0}

;

s_{2}=(\triangle ^{2}a)_{0}=-(-a_{2}+a_{1})+(-a_{1}+a_{0})=a_ {2}-2a_{1}+a_{0}

;

\ldots

s_{n}=(-1)^{n}(\triangle ^{n}a)_{0},

var

\triangel

är differentieringsoperatorn:

\Delta _{h}(f(x))=f(x+h)-f(x).

Exempel

Binomialtransformationer kan ses i tabeller, till exempel i denna:

0		ett		tio		63		324		1485
	ett		9		53		261		1161
		åtta		44		208		900
			36		164		692
				128		528
					400

Den översta raden ( 0, 1, 10, 63, 324, 1485 ) ges av , vilket är den binomala transformationen av diagonalen ( 0, 1, 8, 36, 128, 400 ), som i sin tur ges av $3^{n-2}(2n^{2}+n)$ ${\displaystyle n^{2}2^{n-1))$

Skift

Binomialoperatorn är skiftoperatorn för klocknummer : $Bi}$

{\displaystyle B_{n+1}=\summa _{k=0}^{n}{n \choose k}B_{k))

Enkla genereringsfunktioner

Den binomala transformationen genom genererande funktion av en sekvens är relaterad till teorin om serier .

Låta $\left\{{\begin{matrix}f(x)=\summa _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}\\g(x)=\summa _ {n=0}^{\infty }s_{n}x^{n}\end{matrix}}\right.$

Sedan

g(x)=(Tf)(x)={\frac {1}{1-x}}f\left({\frac {x}{1-x}}\right).

(enkel genereringsfunktion)

Euler transform

Relationen mellan enkla genererande funktioner kallas ibland Euler-transformen , som till exempel används för att påskynda konvergensen av alternerande serier. Om vi ersätter en enkel genererande funktion i formeln får vi $x={\frac {1}{2))$

\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n} {\frac {\Delta ^{n}a_{0}}{2^{n+1}}}

som konvergerar mycket snabbare än originalserien.

Denna transformation kan generaliseras till formen $p\in \mathbb {N}$

\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{n+p \choose n}a_{n}=\summa _{n=0}^{\infty } (-1)^{n}{n+p \välj n}{\frac {\Delta ^{n}a_{0}}{2^{n+p+1}}}.

Euler-transformen tillämpas också på den hypergeometriska funktionen , erhållande ${\displaystyle _{2}F_{1))$

_{2}F_{1}(a,b;c;z)=(1-z)^{-b}\,_{2}F_{1}\left(ca,b;c; {\frac {z}{z-1}}\höger).

Binomialtransformationer, och i synnerhet Eulertransformationen, är relaterade till fortsatta fraktioner . Låt det ha en fortsatt bråkdel . $0<x<1$ $x=[0;a_{1},a_{2},a_{3},\cdots ]$

Sedan

\left\{{\begin{matrix}{\cfrac {x}{1-x}}=[0;a_{1}-1,a_{2},a_{3},\cdots ]; \\{\cfrac {x}{1+x}}=[0;a_{1}+1,a_{2},a_{3},\cdots ].\end{matris}}\right.

Exponentiell genererande funktion

För exponentialfunktionen har vi

\left\{{\begin{matrix}{\overline {f}}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}{\frac {x^{n} }{n!));\\{\overline {g}}(x)=\summa _{n=0}^{\infty }s_{n}{\frac {x^{n}}{n! }}.\end{matris}}\right.

Sedan

{\overline {g}}(x)=(T{\overline {f}})(x)=e^{x}{\overline {f}}(-x).

Integral representation

När en sekvens kan representeras som en interpolation av en komplex funktion , kan den binomala representationen av sekvensen representeras som en Norlund-Rice-integral av interpolationsfunktionen.

Generalisering av binomiska transformationer

Se även

Mellin transform

Litteratur

John H. Conway och Richard K. Guy, 1996, The Book of Numbers
Donald E. Knuth, The Art of Computer Programming Vol. 3 , (1973) Addison-Wesley, Reading, MA.
Helmut Prodinger, 1992, Lite information om den binomala transformationen
Michael Z. Spivey och Laura L. Steil, 2006, The k-Binomial Transforms and the Hankel Transform
Borisov B. och Shkodrov V., 2007, Divergent Series in the Generalized Binomial Transform, Adv. Hingst. forts. Math., 14(1): 77-82

Länkar