Borel sigma algebra

En Borel sigma algebra är en minimal sigma algebra som innehåller alla öppna delmängder av ett topologiskt utrymme (den innehåller också alla slutna ). Dessa delmängder kallas också Borel.

Om inget annat anges, fungerar den verkliga linjen som ett topologiskt utrymme .

Borel sigma algebra fungerar vanligtvis som en sigma algebra av slumpmässiga händelser i ett sannolikhetsutrymme . Borel sigma-algebra på en linje eller på ett segment innehåller många "enkla" uppsättningar: alla intervall, halvintervall, segment och deras räkningsbara förbund.

Uppkallad efter Émile Borel .

Relaterade begrepp

Ett Borel-utrymme är ett topologiskt utrymme utrustat med en Borel sigma-algebra.
En Borel (Borel) funktion är en mappning från ett topologiskt rum till ett annat (vanligtvis båda är rum med reella tal ), för vilken den inversa bilden av en Borel-mängd är en Borel-mängd.
Ett Borelmått är ett mått definierat på alla öppna (och därmed på alla Borel) uppsättningar av ett topologiskt utrymme.

Egenskaper

Varje Borel-inställning på ett intervall är mätbar med avseende på Lebesgue-måttet , men det omvända är inte sant.

Ett exempel på en Lebesgue mätbar men inte Borel-uppsättning

Varje delmängd av en uppsättning av mått noll är automatiskt Lebesgue-mätbar, men en sådan delmängd behöver inte vara Borel.

Tänk på en funktion på intervallet , var är Cantor-stegen . Denna funktion är monoton och kontinuerlig, och som en konsekvens är den mätbar. Funktionen omvänd till den är också mätbar. Måttet på bilden av Cantor-uppsättningen är , eftersom måttet på bilden av dess komplement är . Eftersom måttet på bilden av en Cantor -mängd inte är noll, är det möjligt att hitta en omätbar mängd i den . Då kommer dess inversa bild att vara mätbar (eftersom den ligger i en Cantor-uppsättning vars mått är noll), men inte Borel (eftersom den annars skulle vara mätbar som den omvända bilden av en Borel-uppsättning under en mätbar mappning ). $f(x)={\tfrac {1}{2}}(x+c(x))$ $[0,1]$ $c(x)$ ${\tfrac {1}{2))$ ${\tfrac {1}{2))$ $A$ $f^{-1}(A)$ $A$ $f^{-1}(x)$

Litteratur

V. G. Kanovei, V. A. Lyubetsky. Modern uppsättningsteori: Borel och projektiva uppsättningar . - MTsNMO, 2010. - 320 sid. — ISBN 78-5-94057-683-9.