Haar wavelet

Haar wavelet är en av de första och enklaste wavelets . Den är baserad på det ortogonala funktionssystem som den ungerske matematikern Alfred Haar föreslog 1909 [1] . Haarvågorna är ortogonala, har kompakt stöd, är väl lokaliserade i rymden, men är inte släta. Därefter började Ingrid Daubechies att utveckla teorin om ortogonala vågor och föreslog användningen av funktioner beräknade iterativt, kallade Daubechies vågor.

Konstruktion av Haar wavelet

Den överordnade (moder) wavelet-funktionen med nollvärde för integralen , som bestämmer detaljerna för signalen, ges enligt följande: $\psi(x)$ $\int \limits _{-\infty }^{\infty }\psi (x)\,dx=0$

$\psi (x)={\begin{cases}1,&0\leqslant x<1/2\\-1,&1/2\leqslant x<1\\0,&x\notin [0,\; 1)\end{cases}}$

Skalningsfunktionen med enhetsvärdet för integralen , som bestämmer en grov approximation ( approximation ) av signalen, är konstant: $\varphi(x)$ $\int \limits _{-\infty }^{\infty }\varphi (x)\,dx=1$ $\varphi (x)={\begin{cases}1,&0\leqslant x<1\\0,&x\notin [0,\;1)\end{cases}}$

Haar transformation

Haar-transformen används för att komprimera insignaler, komprimera bilder, mestadels färg och svartvitt med mjuka övergångar. Idealisk för bilder som röntgen. Denna typ av arkivering har varit känd under lång tid och utgår direkt från idén om att använda regionernas koherens. Kompressionsförhållandet är inställt och varierar mellan 5-100. När du försöker ställa in en högre koefficient på skarpa kanter, särskilt de som passerar diagonalt, uppstår en "trappeffekt" - steg med olika ljusstyrka flera pixlar i storlek .

Haartransform för endimensionell signal

Låt det finnas en endimensionell diskret insignal . Varje par av intilliggande element tilldelas två nummer: och . Genom att upprepa denna operation för varje element i den ursprungliga signalen, erhålls två signaler vid utgången, varav en är en grov version av insignalen - och den andra innehåller den detaljerade informationen som är nödvändig för att återställa den ursprungliga signalen. På liknande sätt kan Haar-transformen appliceras på den mottagna signalen , och så vidare. $S$ $a_{i}={\frac {S_{{2i}}+S_{{2i+1}}}{2}}$ $b_{i}={\frac {S_{{2i}}-S_{{2i+1}}}{2}}$ $a_{i}$ $a_{i}$

Exempel

Låt insignalen representeras som en sträng med 8 pixlars ljusstyrkavärden ( ): (220, 211, 212, 218, 217, 214, 210, 202). Efter applicering av Haar - transformen erhålls följande två sekvenser : (215.5, 215, 215.5, 206) och (4.5, -3, 1.5, 4). Det är värt att notera att värdena är ganska nära 0. Genom att upprepa operationen för sekvensen får vi: (215.25, 210.75) (0.25, 4.75). $S$ $a_{1}$ $b_{1}$ $b_{1}$ $a_{1}$

Exemplet med Haar-transformen visar tydligt strukturen för den diskreta wavelet-transformen av signalen. Vid varje steg av transformationen delas signalen upp i två komponenter: en approximation med lägre upplösning ( approximation ) och detaljinformation.

Haar transform för en tvådimensionell signal

En tvådimensionell Haar-transform är inget annat än en sammansättning av endimensionella Haar-transformationer. Låt den tvådimensionella insignalen representeras av matrisen . Efter applicering av den endimensionella Haar-transformen på varje rad i matrisen erhålls två nya matriser, vars rader innehåller den approximerade och detaljerade delen av raderna i den ursprungliga matrisen. På liknande sätt appliceras en endimensionell Haar-transform på varje kolumn av de erhållna matriserna och fyra matriser erhålls vid utgången, varav en är en approximativ komponent av den ursprungliga signalen, och de återstående tre innehåller detaljerad information - vertikal, horisontell och diagonal. $S$ $S$

Se även

Anteckningar

↑ Haar A. Zur Theorie der orthogonalen Functionsysteme, Dissertation (Gottingen, 1909); Matematik. Ann. 69 (1910), 331-371, 71 (1912), 33-53