Externt orelaterade ekvationer

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 28 maj 2019; verifiering kräver 1 redigering .

Synbart icke-relaterade regressioner ( SUR) är ett system av ekonometriska ekvationer , som var och en är en oberoende ekvation med sina egna beroende och förklarande exogena variabler. Modellen föreslogs av Zelner 1968. En viktig egenskap hos dessa ekvationer är att, trots att ekvationerna uppenbarligen saknar samband, antas deras slumpmässiga fel vara korrelerade med varandra.

Matematisk modell

Låt det finnas m ekonometriska linjära ekvationer , som var och en kan skrivas i matrisform enligt följande:

y_{i}=X_{i}b_{i}+\varepsilon _{i}~,~i=1,\ldots ,m

Det antas att det slumpmässiga felet i varje ekvation uppfyller de klassiska antagandena om frånvaron av heteroskedasticitet och autokorrelation , det vill säga kovariansmatrisen för vektorn av slumpmässiga fel i varje ekvation har formen: . Det kan dock finnas en korrelation av slumpmässiga fel mellan ekvationer (i samma observation). Dessutom är varianserna för slumpmässiga fel i olika ekvationer generellt sett inte desamma. Låt oss beteckna kovarianserna mellan slumpmässiga fel i olika ekvationer . Sedan för varje observation har vektorn av slumpmässiga fel i ekvationerna en kovariansmatris . $V(\varepsilon _{i})=\sigma _{i}^{2}I_{n}$ $\sigma_{ij}$ $\Sigma =[\sigma _{{ij}}]$

Låt oss presentera notationen

y={\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\\vdots \\y_{m}\end{pmatrix}}~,

X={\begin{pmatrix}X_{1}&0&\ldots &0\\0&X_{2}&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\ldots &X_{m }\end{pmatrix}}~,

b={\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{m}\end{pmatrix}}~,

\varepsilon ={\begin{pmatrix}\varepsilon _{1}\\\varepsilon _{2}\\\vdots \\\varepsilon _{m}\end{pmatrix}}

Sedan kan modellen representeras i följande form, liknande den vanliga linjära regressionen:

y=Xb+\varepsilon

Kovariansmatrisen för slumpfelsvektorn i en sådan modell kommer att ha en blockform, vars block är lika med . Detta kan förenklas i form av en matris med Kronecker-produkten : $\sigma _{{ij}}I_{n}$ $\Sigma$

V(\varepsilon )=\Sigma \otimes I_{n}

Bedömningsmetoder

Eftersom varje antagandeekvation uppfyller de klassiska antagandena, kan den vanliga minsta kvadratmetoden användas för att uppskatta deras parametrar. Detta tillvägagångssätt tar dock inte hänsyn till ytterligare information om korrelationer mellan ekvationer. Mer effektiva uppskattningar kan erhållas med den generaliserade minsta kvadratmetoden :

{\hat {b}}_{{SUR}}=(X^{T}V^{{-1}}X)X^{T}V^{{-1}}y~,~V^{ {-1}}=\Sigma ^{{-1}}\ibland I_{n}

Emellertid är problemet med att tillämpa den generaliserade LSM, som är känt, den okända kovariansmatrisen av fel, i detta fall matrisen . Därför används följande tvåstegs tillgängliga generaliserade minsta kvadraters (FGLS) procedur. I det första steget tillämpas den vanliga LSM och resten av ekvationerna hittas. Baserat på dessa residualer uppskattas matrisen : och sedan tillämpas den generaliserade LSM. Teoretiskt kan proceduren fortsätta iterativt med de nyligen erhållna residualerna för att omvärdera kovariansmatrisen och tillämpa de generaliserade minsta kvadraterna. $\Sigma$ $\Sigma$ ${\hat \sigma }_{{ij}}=e_{i}^{T}e_{j}/n$

De sålunda erhållna uppskattningarna är konsekventa och asymptotiskt normala. Uppenbarligen, om matrisen är diagonal, det vill säga när de slumpmässiga felen i olika ekvationer inte korrelerar med varandra, kommer sådana uppskattningar att sammanfalla med uppskattningarna av de vanliga minsta kvadraterna. Detsamma gäller när alla ekvationer innehåller samma uppsättning variabler, dvs. $\Sigma$ $X_{1}=X_{2}=...=X_{m}$

Utöver dessa grundläggande tillvägagångssätt är det också möjligt att använda den maximala sannolikhetsmetoden under antagandet om en normalfördelning av slumpmässiga fel.

Externt orelaterade ekvationer

Matematisk modell

Bedömningsmetoder

Se även