Sfäreversion

Eversionen av en sfär är processen att ändra platserna för de yttre och inre ytorna av en sfär i tredimensionellt utrymme under villkoren för differentiell topologi . Självkorsning av ytor är tillåten, men vid varje tidpunkt har den inga diskontinuiteter och behåller jämnheten . Med andra ord måste bilden av sfären vid varje deformationsögonblick förbli differentierbar .

Möjligheten att vända en sfär upptäcktes först av den amerikanske matematikern Stephen Smale . Det är ganska svårt att presentera ett specifikt exempel på en sådan transformation, därför kallas detta resultat för Smales paradox [1] . För tydlighetens förklaring skapades många visualiseringar.

Formulering

Låt det finnas en standardinbäddning av en sfär i tredimensionellt utrymme. Sedan finns det en kontinuerlig enparameterfamilj av jämna nedsänkningar , sådana att och . ${\displaystyle f\colon \mathbb {S} ^{2}\to \mathbb {R} ^{3))$ $f_{t}\colon \mathbb {S} ^{2}\to \mathbb {R} ^{3},\ \ t\i [0,1]$ $f_0=f$ $f_{1}=-f$

Historik

Möjligheten att invertera en sfär upptäcktes först av den amerikanske matematikern Stephen Smale 1957 . Raul Bott , Smales avhandlingskonsult, konstaterade inledningsvis att resultatet uppenbarligen var felaktigt. Han förklarade detta med det faktum att en sådan omvandling bör bevara graden av den Gaussiska kartläggningen . Till exempel finns det ingen sådan transformation för en cirkel inom ett plan. Men för ett tredimensionellt utrymme är graderna för de Gaussiska avbildningarna y och y till båda lika med 1 och har inte motsatta tecken, i motsats till ett felaktigt antagande. Graden av den Gaussiska kartläggningen för alla nedsänkningar i är lika med 1, så det finns inga hinder. $f$ $-f$ $\mathbb {R} ^{3}$ $\mathbb {S} ^{2}$ $\mathbb {R} ^{3}$

Variationer och generaliseringar

Eversionen av en sfär kan också göras i klassen -släta isometriska nedsänkningar. [2] $C^1$
En sexdimensionell sfär , inbäddad i ett sjudimensionellt euklidiskt utrymme , tillåter också en inifrån och ut. Tillsammans med en nolldimensionell sfär (två punkter) på en linje och en tvådimensionell sfär c är detta de enda möjliga fallen där en inbäddad sfär kan vändas ut och in. $S^{6}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{7))$ $S^{0}$ $\mathbb {R}$ $S^{2}$ $\mathbb {R} ^{3}$ $S^{n}$ $\mathbb {R} ^{n+1}$
- Dessutom är Smale-Kaiser-satsen giltig : två nedsänkningar av sfärer i är regelbundet homotopiska om och endast om . För alla andra är kapslade sfärer med olika orientering inte regelbundet homotopa. [3] $S^{n}$ $\mathbb {R} ^{n+1}$ $n=0,2,6$ $n$
H-principen är ett generellt sätt att lösa sådana problem.

Anteckningar

↑ E. A. Kudryavtseva,. "Implementering av släta funktioner på ytor som höjdfunktioner" . Matta. Sat., 190:3 (1999), 32 . www.mathnet.ru Hämtad 23 februari 2017. Arkiverad från originalet 24 februari 2017. (obestämd)
↑ Gromov, M. Differentialförhållanden i partiella derivator.
↑ J. Malesic, P.E. Pushkar, D. Repovsh. "Inside-Out-sfärer" . Hämtad 3 december 2020. Arkiverad från originalet 25 november 2020. (obestämd)

Litteratur

Smale, Stephen En klassificering av nedsänkningar av tvåsfären. Trans. amer. Matematik. soc. 90 1958 281-290.
Francis, J. Topology bilderbok hur man ritar mattebilder. Moskva: Mir, 1991. Kapitel 6. Att vända sfären ut och in.
Skopenkov A.B. Algebraisk topologi ur geometrisk synvinkel. - 2:a uppl., tillägg. - M: MTsNMO, 2020. - 304 sid.

Länkar

Visualisering av eversionen av en sfär med William Thurstons metod (med undertexter på ryska).
Ricky Reusser, Rendering a sphere eversion , baserad på en familj av styrda ytor