Hyperelliptisk yta

En hyperelliptisk eller bielliptisk yta är en yta vars albanska morfism är en elliptisk bunt . Varje sådan yta kan skrivas som kvoten av produkten av två elliptiska kurvor med avseende på en finit abelisk grupp . Hyperelliptiska ytor utgör en av klasserna med Kodaira-dimensionen 0 i Enriques-Kodaira-klassificeringen .

Invarianter

Kodaira-dimensionen är 0.

Rhombus Hodge:

		ett
	ett		ett
0		2		0
	ett		ett
		ett

Klassificering

Varje hyperelliptisk yta är en faktor , där F är elliptiska kurvor, och G är en undergrupp av gruppen F ( verkar på F genom överföringar). Det finns sju familjer av hyperelliptiska ytor. $(E{\times }F)/G$ $E=\mathbf {C} /\Lambda$

Beställ K	$\lambda$	G	Åtgärd av G på E
2	Några	$\mathbf {Z} /2\mathbf {Z}$	$e\rightarrow -e$
2	Några	$\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} \oplus \mathbf {Z} /2\mathbf {Z}$	$e\rightarrow -e,e\rightarrow e+c,-c=c$
3	$\mathbf {Z} \oplus \mathbf {Z} \omega$	$\mathbf {Z} /3\mathbf {Z}$	$e\rightarrow \omega e$
3	$\mathbf {Z} \oplus \mathbf {Z} \omega$	$\mathbf {Z} /3\mathbf {Z} \oplus \mathbf {Z} /3\mathbf {Z}$	$e\rightarrow \omega e,e\rightarrow e+c,{\omega }c=c$
fyra	$\mathbf {Z} \oplus \mathbf {Z} i$	$\mathbf {Z} /\mathbf {Z}$	$e\rightarrow ie$
fyra	$\mathbf {Z} \oplus \mathbf {Z} i$	$\mathbf {Z} /4\mathbf {Z} \oplus \mathbf {Z} /2\mathbf {Z}$	$e\rightarrow dvs.e\rightarrow e+c,ic=c$
6	$\mathbf {Z} \oplus \mathbf {Z} \omega$	$\mathbf {Z} /6\mathbf {Z}$	$e\rightarrow -{\omega }e$

Här är den primitiva kubroten av 1 och i är den primitiva fjärde roten av 1. $\omega$

Kvasihyperelliptiska utrymmen

Ett kvasi-hyperelliptiskt utrymme är en yta vars kanoniska divisor är numeriskt ekvivalent med noll, vars albanska karta mappar till en elliptisk kurva, och alla dess fibrer är rationella cusped kurvor . De finns bara i egenskaperna 2 eller 3. Deras andra Betti-tal är 2, deras andra Chern-tal är noll, liksom den holomorfa Euler-karaktäristiken . Klassificeringen utfördes av Bombieri och Mumford [1] , som fann sex fall i egenskap 3 (i detta fall 6 K = 0) och åtta fall i karakteristik 2 (i detta fall är 6 K lika med noll eller 4 K ). Varje kvasi-elliptisk yta är en faktor , där E är en rationell kurva med en cusp, F är en elliptisk kurva och G är ett ändligt gruppunderschema av gruppen F (verkar på F genom överföringar). $(EF)/G$

Anteckningar

↑ Bombieri, Mumford, 1976 .

Litteratur

Wolf P. Barth, Klaus Hulek, Chris AM Peters, Antonius Van de Ven. Kompakta komplexa ytor. - Springer-Verlag, Berlin, 2004. - T. 4. - (Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge.). - ISBN 978-3-540-00832-3 .
Arnaud Beauville . Komplexa algebraiska ytor. — 2:a. - Cambridge University Press , 1996. - V. 34. - (London Mathematical Society Student Texts). - ISBN 978-0-521-49510-3 .
Enriques klassificering av ytor i röding. sid. III. // Inventiones Mathematicae . - 1976. - T. 35 . — S. 197–232 . — ISSN 0020-9910 . - doi : 10.1007/BF01390138 .
Komplex analys och algebraisk geometri. - Tokyo, 1977. - S. 23-42 .