Släta strukturer på fyrdimensionell euklidisk rymd

Släta strukturer på det fyrdimensionella euklidiska utrymmet är exempel på släta grenrör som är homeomorfa till , men inte nödvändigtvis diffeomorfa till, det fyrdimensionella euklidiska utrymmet .

Fyrdimensionellt euklidiskt rymd tillåter exotiska släta strukturer, det vill säga inte diffeomorfa till fyrdimensionella euklidiska rymd. I andra dimensioner än 4 finns det inga exotiska släta strukturer på det euklidiska rummet.

Historik

Förekomsten av sådana exempel bevisades 1982 av Michael Friedman och andra. Beviset använde Friedmans sats om topologiska 4-grenrör och Simon Donaldsons sats om släta 4-grenrör.

Förekomsten av ett kontinuum av distinkta släta strukturer bevisades först av Clifford Taubes . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4))$

Dessförinnan var förekomsten av exotiska släta strukturer känd på sfärer, även om frågan om förekomsten av sådana strukturer på en 4-dimensionell sfär fortfarande är öppen (från och med 2016).

Typer

En exotisk slät struktur sägs vara liten om den är diffeomorf till en öppen standardundergrupp . Kallas annars stor . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4))$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4))$

Länkar

Topologi av 4-grenrör (neopr.) . - Princeton, NJ: Princeton University Press , 1990. - V. 39. - ISBN 0-691-08577-3 .
En universell utjämning av fyrrum (neopr.) // Journal of Differential Geometry . - 1986. - T. 24 , nr 1 . - S. 69-78 . — ISSN 0022-040X . (inte tillgänglig länk)
Kirby, Robion C. Topologin för 4-grenrör (neopr.) . - Berlin: Springer-Verlag , 1989. - T. 1374. - ISBN 3-540-51148-2 .
Scorpan, Alexandru. Den vilda världen av 4-grenrör (neopr.) . - Providence, RI: American Mathematical Society, 2005. - ISBN 978-0-8218-3749-8 .
Stallings, John Den bitvis-linjära strukturen av det euklidiska rummet // Proc . Cambridge Philos. soc. : journal. - 1962. - Vol. 58 , nr. 3 . - s. 481-488 . - doi : 10.1017/s0305004100036756 . MR : 0149457
4-grenrör och Kirby-kalkyl (neopr.) . - Providence, RI: American Mathematical Society, 1999. - V. 20. - ISBN 0-8218-0994-6 .
Taubes, Clifford Henry Gauge theory on asymptotically periodic 4-manifolds (engelska) // Journal of Differential Geometry : journal. - 1987. - Vol. 25 , nr. 3 . - s. 363-430 .