Graderad algebra

En graderad algebra är en algebra som bryts ner i en direkt summa av dess delrum på ett sådant sätt att villkoret är uppfyllt . [1] [2] ${\textstyle A}$ ${\textstyle A=\bigoplus _{r=-\infty }^{\infty }A_{r))$ ${\displaystyle A_{r))$ ${\textstil A_{r}A_{s}\subset A_{r+s}\ (r,s\in \mathbb {Z} )}$

Definition

Låt A vara en algebra över en ring k , G en halvgrupp .

En algebra A kallas G - graderad (synonym: G - gradering ges på A ) om A bryts ner till en direkt summa av k -moduler över alla element g från G , och multiplikation i algebra överensstämmer med multiplikation i halvgruppen: $A_{g}$

{\displaystyle A_{f}A_{g}\subset A_{fg))

Om ett element a som inte är noll hör till , då kallas det homogent av grad g . $A_{g}$

När G tas som den additiva gruppen av heltal eller halvgruppen av icke-negativa heltal, sägs algebra A helt enkelt graderas.

Om vi tar ringen som A i definitionen ovan så får vi definitionen av en graderad ring .

Konstruktioner med gradering

Om A är en G -graderad algebra och a är en semigroup homomorphism , då A är utrustad med en H -gradering enligt regeln: $\psi :G\to H$

A_{h}=\oplus _{\{g\in G\mid \psi (g)=h\}}A_{g}

På vilken algebra A som helst kan man införa en trivial gradering av vilken semigrupp G som helst med identitet e , förutsatt att det därför inte är meningsfullt att överväga sådana "dåliga" graderingar. $A_{e}=A$

Över ett fält är vilken algebra A som helst graderbar med gruppen G av tecken i den maximala torusen i dess algebraiska automorfismgrupp: $\mathbb {C}$ $G=(T(\operatörsnamn {Aut} _{k{\text{-alg}}}(A)))^{\vee }:\quad A_{g}=\{a\in A\ mitten av \phi (a)=g(\phi )a$ för alla $\phi \in T(\operatörsnamn {Aut} _{k{\text{-alg}}}(A))\}$

Denna gradering, i ovanstående mening, är den "rikaste" av alla abelska graderingar av algebra A , eftersom på alla G -graderade algebra A verkar gruppen av tecken G genom automorfismer, med samma formel.

Exempel

Ring av polynom i en eller flera variabler.
Ring av kohomologi .
Algebra för matriser av ordningen n graderas av gruppen $\mathbb {Z} _{n-1}.$
En semigruppalgebra är en G -graderad algebra. $K\left[G\right]$

Graderad modul

Motsvarande koncept i modulteori är en graderad modul , nämligen en vänstermodul M över en graderad ring A så att

{\textstyle M=\bigoplus _{i\in \mathbb {Z} }M_{i))

och

{\textstyle A_{i}M_{j}\subseteq M_{i+j}.}

En graderad modulmorfism är en modulmorfism som bevarar betygssättningen, det vill säga . $f:N\to M$ ${\displaystyle f(N_{i})\subseteq M_{i))$

För en graderad modul M kan man definiera ℓ -twist som en graderad modul definierad av regeln . (Se vridning av Serre-kärve i algebraisk geometri.) $M(\ell )$ $M(\ell )_{n}=M_{n+\ell }$

Låt M och N vara graderade moduler. Om är en morfism av moduler, då sägs f ha graden d om . Den yttre derivatan av en differentialform i differentialgeometri är ett exempel på en morfism av grad 1. $f:M\to N$ ${\displaystyle f(M_{n})\subset N_{n+d))$

Litteratur

C. Nastasescu, F. Van Oystaeyen. Graderad ringteori. - Amsterdam: North-Holland, 1982. - ISBN 97804444864895 .

Anteckningar

↑ Denna graderade algebra kallas också -graded. ${\textstyle \mathbb {Z} }$
↑ Matematisk encyklopedisk ordbok / Ch. ed. Yu. V. Prokhorov; Ed. samlar: S. I. Adyan, N. S. Bakhvalov, V. I. Bityutskov, A. P. Ershov, L. D. Kudryavtsev, A. L. Onishchik, A. P. Yushkevich. - M . : Sov. uppslagsverk, 1988. - S. 161 . — 847 sid. — 150 000 exemplar.