Graderat grenrör

Graderade grenrör är en förlängning av begreppet grenrör baserat på föreställningarna om supersymmetri och kommutativ graderad algebra . Graderade grenrör är inte supermanifolds , även om det finns en viss överensstämmelse mellan graderade grenrör och DeWitt supermanifolds . Både graderade sorter och supervarieteter definieras i termer av skivor — graderade algebror . Graderade grenrör kännetecknas dock av skivor på släta grenrör , medan supergrenrör definieras genom att limma ihop skivor av supervektorutrymmen. $\mathbb Z_2$

Graderade grenrör

Ett graderat grenrör av dimension definieras som ett lokalt ringat utrymme , där är ett dimensionellt jämnt grenrör och är en kärva av Grassmann-algebror av rang , där är en bunt av jämna reella funktioner på . Kärven kallas den strukturella kärven av det graderade grenröret , och det släta grenröret kallas kroppen . Sektioner av kärven kallas graderade funktioner på ett graderat grenrör . De bildar en kommutativ graderad -ring , kallad strukturringen . Den välkända Batchelor- satsen och Serre-Swan-satsen karakteriserar graderade grenrör på följande sätt. $(n,m)$ $(Z,A)$ $Z$ $n$ $A$ ${\displaystyle C_{Z}^{\infty ))$ $m$ ${\displaystyle C_{Z}^{\infty ))$ $Z$ $A$ $(Z,A)$ $Z$ $(Z,A)$ $A$ $(Z,A)$ $C^{\infty }(Z)$ $A(Z)$ $(Z,A)$

Sats

Låt vara ett graderat grenrör. Det finns ett vektorknippe med en dimensionell generisk fiber , så att strukturskivan för det graderade grenröret är isomorf till strukturbunten av sektioner av den yttre produkten av bunten , vars typiska fiber är Grassmann-algebra . $(Z,A)$ $E\to Z$ $m$ $V$ $A$ $(Z,A)$ $\Lambda(E)$ $E$ $\Lambda (V)$

Låt vara en slät grenrör. En graderad kommutativ -algebra är isomorf till strukturringen i ett graderat grenrör med divisionsring om och endast om det är den yttre algebra av någon projektiv -modul av finit rang. $Z$ $C^{\infty }(Z)$ $Z$ $C^{\infty }(Z)$

Graderade funktioner

Även om Batchelor-isomorfismen som nämns ovan inte är kanonisk, är den i många applikationer initialt fixad. I det här fallet genererar varje lokalt trivialiseringsdiagram för ett vektorbunt en lokal uppdelning av det graderade grenröret , där är en fiberbas för bunten . Graderade funktioner på en sådan karta representeras av -värderade funktioner $(U;z^{A},y^{a})$ $E\to Z$ $(U;z^{A},c^{a})$ $(Z,A)$ $\{c^{a}\}$ $E$ $\Lambda (V)$

$f=\sum _{k=0}^{m}{\frac {1}{k!}}f_{a_{1}\ldots a_{k}}(z)c^{a_{1 }}\cdots c^{a_{k}}$ ,

var är jämna verkliga funktioner på och är udda genererande element i Grassmann algebra . $f_{a_{1}\cdots a_{k}}(z)$ $U$ $c^{a}$ $\Lambda (V)$

Graderade vektorfält

Låt ett graderat grenrör ges . Graderade härledningar av strukturringen av graderade funktioner kallas graderade vektorfält på . De bildar en riktig Lie superalgebra med avseende på superparenteser $(Z,A)$ $A(Z)$ $(Z,A)$ $\partial A(Z)$

$[u,u']=u\cdot u'-(-1)^{[u][u']}u'\cdot u$ ,

där betecknar Grassmann-pariteten . Graderade vektorfält lokalt har formen $[u]$ $u\in \partial A(Z)$

${\displaystyle u=u^{A}\partial _{A}+u^{a}{\frac {\partial }{\partial c^{a))))$ .

De agerar på graderade funktioner enligt lagen $f$

$u(f_{a_{1}\ldots a_{k}}c^{a_{1}}\cdots c^{a_{k}})=u^{A}\partial _{A}( f_{a_{1}\ldots a_{k}})c^{a_{1}}\cdots c^{a_{k}}+\sum _{i}u^{a_{i}}(-1 )^{i-1}f_{a_{1}\ldots a_{k}}c^{a_{1}}\cdots c^{a_{i-1}}c^{a_{i+1}} \cdots c^{a_{k}}$ .

Graderade externa formulär

Modulen dubbla till modulen med graderade vektorfält kallas modulen för graderade yttre enformer . De graderade yttre enformerna är lokalt av formen , så den inre produkten mellan och ges av $A(Z)$ $\partial A(Z)$ $O^{1}(Z)$ ${\displaystyle \phi =\phi _{A}dz^{A}+\phi _{a}dc^{a))$ $\partial A(Z)$ $O^{1}(Z)$

{\displaystyle u\rfloor \phi =u^{A}\phi _{A}+(-1)^{[\phi _{a}]}u^{a}\phi _{a))

Utrustad med en graderad yttre produktdrift

$dz^{A}\wedge dc^{i}=-dc^{i}\wedge dz^{A},\qquad dc^{i}\wedge dc^{j}=dc^{j} \wedge dc^{i}$ ,

graderade enformer genererar en graderad yttre algebra av graderade yttre former på ett graderat grenrör. De tillfredsställer relationerna $O^{*}(Z)$

$\phi \wedge \phi '=(-1)^{|\phi ||\phi '|+[\phi ][\phi ']}\phi '\wedge \phi$ ,

var är graden av formen . En graderad yttre algebra är en differentiell graderad algebra med avseende på en graderad yttre differential $|\phi |$ $\phi$ $O^{*}(Z)$

$d\phi =dz^{A}\wedge \partial _{A}\phi +dc^{a}\wedge {\frac {\partial }{\partial c^{a))}\phi$ ,

där graderade avledningar , graderade kommutativa med graderade former och . Rättvisa förhållanden $\partial _{A}$ $\partial /\partial c^{a}$ $dz^{A}$ ${\displaystyle dc^{a))$

$d(\phi \wedge \phi ')=d(\phi )\wedge \phi '+(-1)^{|\phi |}\phi \wedge d\phi '$ .

Graderad differentialgeometri

I kategorin graderade grenrör överväger vi graderade Lie-grupper, graderade buntar och graderade huvudbuntar. Begreppet jetstrålar av graderade grenrör introduceras också, som dock skiljer sig från jetstrålar av sektioner av graderade buntar.

Graderad differentialkalkyl

Differentialkalkylen på graderade grenrör är formulerad som differentialkalkylen över kommutativa graderade algebror, analogt med differentialkalkylen över kommutativa algebror .

Fysiska applikationer

På grund av den tidigare nämnda Serre-Swan-satsen beskrivs udda klassiska fält på ett jämnt grenrör i termer av graderade grenrör snarare än supergrenrör. Eftersom det är generaliserat till graderade grenrör, ger variationsbikomplexet en rigorös matematisk formulering av den lagrangska teorin om jämna och udda klassiska fält och lagrangisk BRST-teorin .

Se även

Litteratur

C. Bartocci, U. Bruzzo, D. Hernandez Ruiperez , The Geometry of Supermanifolds (Kluwer, 1991) ISBN 0-7923-1440-9
T. Stavracou , Teori om kopplingar på graderade huvudbuntar, Rev. Matematik. Phys. 10 (1998) 47
B. Kostant , Graded manifolds, Graded Lie theory, and prequantization, in Differential Geometric Methods in Mathematical Physics , Lecture Notes in Mathematics 570 (Springer, 1977) sid. 177
A. Almorox , Supergauge-teorier i graderade grenrör, i Differential Geometric Methods in Mathematical Physics , Lecture Notes in Mathematics 1251 (Springer, 1987) sid. 114
D. Hernandez Ruiperez, J. Munoz Masque , Global variationskalkyl på graderade grenrör, J. Math. Pures Appl. 63 (1984) 283
G. Giachetta, L. Mangiarotti, G. Sardanashvily , Advanced Classical Field Theory (World Scientific, 2009) ISBN 978-981-283-895-7
G. A. Sardanashvili , Moderna metoder för fältteori. 4. Geometri och kvantfält (URSS, 2000) ISBN 5-88417-221-4 .

Länkar

G. Sardanashvily , Föreläsningar om supergeometri, arXiv: 0910.0092

Teoretisk fysik