Lagrangesystemet

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 29 november 2019; kontroller kräver 2 redigeringar .

I matematik är ett lagrangesystem ett par av en jämn bunt och en lagrangisk densitet som definierar Euler-Lagrange differentialoperator som agerar på delar av bunten . $(Y,L)$ $Y\ till X$ $L$ $Y\ till X$

Inom klassisk mekanik är många dynamiska system lagrangiska. Konfigurationsutrymmet för ett sådant lagrangiskt system är bunten över tidsaxeln (i synnerhet om referensramen är fast). I klassisk fältteori är alla fältsystem lagrangiska. $Q\to \mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ $Q=\mathbb {R} \times M$

Den lagrangiska tätheten (eller helt enkelt lagrangian ) av beställning definieras som -formen , dim , på strålegrenröret av beställningen av bunten delar upp . Lagrangian kan introduceras som en del av variationsbikomplexet av den differentiella graderade algebra av yttre former på buntens jetgrenrör . Samgränsoperatorn för detta bikomplex innehåller en variationsoperator , som agerar på , bestämmer den associerade Euler-Lagrange-operatorn . Med avseende på koordinaterna på bunten och motsvarande koordinater ( , ) på jetgrenröret har Lagrangian- och Euler-Lagrange-operatören formen: $L$ $r$ $n$ $n=$ $X$ $J^{r}Y$ $r$ $Y$ $L$ $O_{\infty }^{*}(Y)$ $Y\to X$ $\delta$ $L$ $\delta L$ $(x^{\lambda },y^{i})$ $Y$ $(x^{\lambda },y^{i},y_{\Lambda }^{i})$ $\Lambda =(\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{k})$ $|\Lambda |=k\leq r$ $J^{r}Y$ $L$

L={\mathcal {L}}(x^{\lambda },y^{i},y_{\Lambda }^{i})\,d^{n}x,

\delta L=\delta _{i}{\mathcal {L}}\,dy^{i}\wedge d^{n}x,\qquad \delta _{i}{\mathcal {L} }=\partial _{i}{\mathcal {L}}+\sum _{|\Lambda |}(-1)^{|\Lambda |}\,d_{\Lambda }\,\partial _{i }^{\Lambda }{\mathcal {L)),

var

d_{\Lambda }=d_{\lambda _{1))\cdots d_{\lambda _{k)),\qquad d_{\lambda }=\partial _{\lambda }+y_{\lambda }^{i}\partial _{i}+\cdots ,

beteckna totala derivat. Till exempel tar första ordningens Lagrangian och andra ordningens Euler-Lagrange operatör formen

L={\mathcal {L}}(x^{\lambda },y^{i},y_{\lambda }^{i})\,d^{n}x,\qquad \delta _ {i}L=\partial _{i}{\mathcal {L}}-d_{\lambda }\partial _{i}^{\lambda }{\mathcal {L}}.

Euler-Lagrange-operatorns kärna definierar Euler-Lagrange-ekvationen . $\delta L=0$

Variationsbikomplexets kohomologi definierar den så kallade variationsformeln

dL=\delta L+d_{H}\Theta _{L},

var

d_{H}\phi =dx^{\lambda}\wedge d_{\lambda}\phi ,\qquad \phi \in O_{\infty }^{*}(Y)

är den totala differentialen och är Lepage-motsvarigheten till Lagrangian . Noethers första och andra satser är konsekvenser av denna variationsformel. $\Theta _{L}$ $L$

Genom att generaliseras till graderade grenrör beskriver variationsbikomplexet graderade lagrangiska system av jämna och udda variabler.

I en annan variant introduceras lagrange-, Euler–Lagrange-operatorn och Euler–Lagrange-ekvationerna inom ramen för variationskalkylen .

Se även

Litteratur

Olver, P. Applications of Lie Groups to Differential Equations, 2ed (Springer, 1993) ISBN 0-387-94007-3
Giachetta, G., Mangiarotti, L., Sardanashvily, G. , New Lagrangian and Hamiltonian Methods in Field Theory (World Scientific, 1997) ISBN 981-02-1587-8 ( arXiv:0908.1886 )

Länkar

Sardanashvily, G. , Graded Lagrangian formalism, Int. G. Geom. Metoder Mod. Phys. 10 (2013) N5 1350016; arXiv: 1206.2508 (inte tillgänglig länk)