Nolldelare

I allmän algebra kallas ett element i en ring [1] : $a$

vänster nolldelare om det finns en icke-noll sådan att

b

ab=0;

höger delare av noll om det finns en icke-noll sådan att

b

ba=0.

Vidare, i hela denna artikel, anses ringen vara icke-trivial, det vill säga den innehåller andra element än noll.

Ett element som är både höger och vänster nolldelare kallas nolldelare . Om multiplikation i en ring är kommutativ , då är begreppen höger och vänster divisor desamma. Ett element i en ring som varken är en höger eller en vänster nolldelare kallas ett regelbundet element [2] .

Nollan i en ring kallas en felaktig (eller trivial ) nolldelare. Följaktligen kallas icke-nollelement som är nolldelare för riktiga (icke-triviala) nolldelare.

En kommutativ ring med enhet, där det inte finns några icke-triviala nolldelare, kallas en integritetsdomän [3] .

Egenskaper

Om inte är en vänster nolldelare, kan likhet reduceras med på samma sätt som en höger nolldelare. Särskilt inom integritetsområdet är reduktion med en faktor som inte är noll alltid möjlig [3] . $a$ $ab=ac$ $a;$

Uppsättningen av reguljära element i en kommutativ ring är stängd under multiplikation.

Reversibla element i en ring kan inte vara nolldelare [2] . De reversibla elementen i en ring kallas ofta "endelare", så det föregående påståendet kan sägas annorlunda: en delare av en kan inte samtidigt vara en divisor av noll. Av detta följer att det i vilken kropp eller fält som helst kan finnas nolldelare [4] .

I en kommutativ finit ring med ett är varje element som inte är noll antingen inverterbart eller är en nolldelare. Följd: en icke-trivial kommutativ finit ring utan nolldelare är ett fält (existensen av en enhet i ringen kan noggrant bevisas).

En linjärt ordnad ring med en strikt ordning (det vill säga om produkten av positiva element är positiv) innehåller inte nolldelare [5] , se även exemplet på en ordnad ring med nolldelare nedan.

Ett nilpotent element i en ring är alltid (både vänster och höger) en nolldelare. Ett annat idempotent element i ringen än ett är också en nolldelare, eftersom $c$ $c(1-c)=0.$

Exempel

Heltalsringen innehåller inga icke-triviala nolldelare och är en integritetsdomän .

I ringen av modulo- rester, om k inte är coprime till m , så är resten av k en nolldelare. Till exempel, i en ring är elementen 2, 3, 4 nolldelare: $\mathbb {Z} _{m}$ $m,$ ${\mathbb Z}_{6}$

2_{6}\cdot 3_{6}=0;\ 4_{6}\cdot 3_{6}=0

Det finns också nolldelare i matrisringen av ordning 2 eller mer, till exempel:

{\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1\\-1&-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\ slut{pmatrix}}

Eftersom determinanten för en produkt är lika med produkten av faktorernas determinanter, är en matrisprodukt endast en nollmatris om determinanten för åtminstone en av faktorerna är noll. Trots att matrismultiplikationen inte är kommutativ, sammanfaller begreppen vänster och höger nolldelare i denna ring; alla nolldelare är degenererade matriser med nolldeterminant.

Ett exempel på en ordnad ring med nolldelare: om vi i den additiva gruppen av heltal sätter alla produkter lika med noll, får vi en ordnad ring där vilket element som helst är en nolldelare (ett är då inte ett neutralt element för multiplikation, så en ring utan en sådan erhålls) [6 ] [7] .

Anteckningar

↑ Van der Waerden. Algebra, 1975 , sid. 51.
↑ 1 2 Zarissky, Samuel, 1963 , sid. 19.
↑ 1 2 Van der Waerden. Algebra, 1975 , sid. 52.
↑ Van der Waerden. Algebra, 1975 , sid. 55.
↑ Nechaev, 1975 , sid. 90.
↑ Bourbaki N. Algebra. Algebraiska strukturer. Linjär algebra. - M. : Nauka, 1962. - S. 137. - 517 sid.
↑ Bourbaki N. Algebra. Polynom och fält. Beställda grupper. - M. : Nauka, 1965. - S. 272. - 299 sid.

Litteratur

Van der Waerden . Algebra. Definitioner, satser, formler. - M . : Mir, 1975. - 649 sid.
- Återutgivning: St. Petersburg: Lan, 2004, ISBN 5-8114-0552-9 , 624 sid.
Zarissky O., Samuel P. Kommutativ algebra . - M. : IL, 1963. - T. 1. - 370 sid.
Nechaev V. I. Numeriska system. - M . : Utbildning, 1975. - 199 sid.

Länkar

Weisstein, Eric W. Zero Divisor (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .