Dyad

En dyad är en speciell tensor av andra rangen, den yttre produkten av två vektorer [1] [2] . I komponentnotation har dyaden formen

\ A_{ij}=a_{i}b_{j},

I icke- koordinerad form

\mathbf {A} =\mathbf {a} \otimes \mathbf {b}

, eller bara

\mathbf {ab}

Vilken bivalent tensor som helst kan delas upp till en summa av högst n dyad, där n är dimensionen av det ursprungliga linjära rummet, eftersom

{\begin{bmatrix}0&\dots &a_{1}&\dots &0\\0&\dots &a_{2}&\dots &0\\\dots &\dots &\dots &\dots &\dots \ \0&\dots &a_{n}&\dots &0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\\dots \\a_{n}\end{bmatrix} }\otimes {\begin{bmatrix}0&\dots &1&\dots &0\end{bmatrix}}

och vilken matris som helst kan representeras som summan av högst n sådana "enkolumns"-matriser.

Ett exempel på en dyad

Tänk till exempel på ett par vektorer

\mathbf {A} =a\mathbf {i} +b\mathbf {j}

och

\mathbf {B} =c\mathbf {i} +d\mathbf {j} .

Då är tensorprodukten av A och B

\mathbf {A\otimes B} =ac\mathbf {i\otimes i} +ad\mathbf {i\otimes j} +bc\mathbf {j\otimes i} +bd\mathbf {j\otimes j }

Rotationsoperator

Bivalent tensor

\mathbf {j\otimes i} -\mathbf {i\otimes j}

är operatören för att rotera planet 90° (moturs). Den verkar till vänster om vektorn och producerar en rotation:

(\mathbf {j\otimes i} -\mathbf {i\otimes j} )\cdot (x\mathbf {i} +y\mathbf {j} )=x\mathbf {j(i} \cdot \mathbf {i)} -x\mathbf {i(j} \cdot \mathbf {i)} +y\mathbf {j(i} \cdot \mathbf {j)} -y\mathbf {i(j} \ cdot \mathbf {j)} =-y\mathbf {i} +x\mathbf {j} .

Användning av dyader

I fysik

Som de enklaste komponenterna i tvåvärda tensorer har dyader funnit tillämpning inom kristallfysik för att beskriva kristallers symmetriegenskaper . Detta tillvägagångssätt har fått den största utvecklingen i den så kallade kovarianta eller koordinatlösa metoden , utvecklad av den vitryska skolan för teoretisk fysik.

Anteckningar

↑ Lipschutz, S. Linear Algebra / S. Lipschutz, M. Lipson. — 4:a. - McGraw-Hill, 2009. - ISBN 978-0-07-154352-1 .
↑ Keller, Frank Algebraiska egenskaper hos matriser; Transponera; Inre och yttre produkt . inf.ed.ac.uk (23 februari 2020). Hämtad 6 september 2020. Arkiverad från originalet 23 juni 2021. (obestämd)

Litteratur

Kochin N. E. Vektorkalkyl och början av tensorkalkyl. - 9:e uppl. — M .: Nauka , 1965. — 424 sid.
Dimitrienko Yu. I. Tensorkalkyl. - M . : Högre skola , 2001. - 575 sid.