Diffeomorfism

En diffeomorfism är en kartläggning av en viss typ mellan släta grenrör.

Definition

En diffeomorfism är en en-till-en och jämn mappning av ett jämnt grenrör till ett slätt grenrör , vars invers också är slät. $f\colon M\to N$ $M$ $N$

Vanligtvis förstås jämnhet som -jämnhet, men diffeomorfismer med en annan typ av jämnhet, i synnerhet klassen för alla naturliga , kan definieras på samma sätt . $C^\infty$ $C^k$ $k$

Exempel

De enklaste exemplen på diffeomorfismer är icke-degenererade linjära (affina) transformationer av vektor (respektive affina) utrymmen av samma dimension.

Relaterade definitioner

Om det finns en diffeomorfism för och , då säger vi det och är diffeomorfa . $M$ $N$ $f\colon M\to N$ $M$ $N$
- Detta förhållande betecknas vanligtvis som . $M\cong N$
- Observera att endast grenrör av samma dimension kan vara diffeomorfa.

Uppsättningen av diffeomorphisms av en mångfald i sig bildar en grupp som kallas diffeomorphism gruppen och betecknas med . $M$ $M$ $\operatorname {Diff} \,M$

En kartläggning kallas en lokal diffeomorfism vid en punkt om dess begränsning till någon del av punkten är en diffeomorfism till någon del av punkten . $f\colon M\to N$ $x\i M$ $x$ $y=f(x)\in N$

Egenskaper

Varje diffeomorfism är en homeomorfism.
- Det omvända är inte sant. Dessutom finns det homeomorfa men inte diffeomorfa släta grenrör (som den exotiska sfären ).
En en-till-en-mappning är en diffeomorfism om och bara om är en jämn mappning och dess jakobiska är ingenstans noll. $f\colon M\to N$ $f$

Se även

Homeomorfism

Litteratur

Zorich V. A. Matematisk analys. — M .: Fizmatlit , 1984. — 544 sid.
Milnor J., Wallace A. Differential topology (initial kurs), - Vilken utgåva som helst.
Hirsch M. Differentiell topologi, - Vilken utgåva som helst.
Spivak M. Matematisk analys av grenrör. — M.: Mir, 1968.