Styvhet Bridge

Mostovs stelhet säger att geometrin hos ett hyperboliskt grenrör med ändlig volym i dimensioner som börjar från tre bestäms helt av dess grundläggande grupp .

Historik

För slutna grenrör bevisades teoremet av George Mostov 1968. Generaliserad till grenrör av ändlig dimension av Marden och Prasad .  Gromov gav ytterligare ett bevis baserat på den förenklade volymen .

Dessförinnan hade Weyl bevisat närbesläktade uttalanden. I synnerhet det faktum att kokompakta handlingar av diskreta isometrigrupper med ett hyperboliskt utrymme med dimensionen minst 3 inte tillåter icke-triviala deformationer.

Formuleringar

Geometrisk formulering

Låt M och N vara fullständiga hyperboliska n -dimensionella grenrör med ändlig volym med n ≥3. Då induceras all isomorfism f :  π 1 ( M ) → π 1 ( N ) av isometrin M → N .

Här betecknar π 1 ( M ) grundgruppen för grenröret M .

Algebraisk formulering

Låt Γ och Δ vara diskreta undergrupper av isometrigruppen G i ett n -dimensionellt hyperboliskt utrymme H med n ≥ 3 vars faktorrum H /Γ och H /Δ har ändliga volymer. Sedan antyder isomorfismen av Γ och Δ som diskreta grupper deras konjugation i G .

Applikationer

• Den isometriska gruppen av ändliga volymer av en hyperbolisk n - mångfald M (för n ≥3) är ändlig och isomorf till gruppen av yttre automorfismer π 1 ( M ).
• Cirkelpackningssats

Länkar

• Gromov, Michael (1981), Hyperbolic manifolds (enligt Thurston och Jørgensen) , Bourbaki Seminar, Vol. 1979/80 , vol. 842, Lecture Notes in Math., Berlin, New York: Springer-Verlag , sid. 40–53, ISBN 978-3-540-10292-2 , doi : 10.1007/BFb0089927 
• Marden, Albert (1974), Geometrin hos ändligt genererade kleinska grupper, Annals of Mathematics. Second Series Vol. 99: 383–462, ISSN 0003-486X 
• Mostow, GD (1968), Quasi-konforma avbildningar i n - rymd och de hyperboliska rymdformernas stelhet , Publ. Matematik. IHES vol. 34: 53–104 , < http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1968__34__53_0 > 
• Mostow, GD (1973), Strong rigidity of locally symmetric spaces , vol. 78, Annals of mathematics studies, Princeton University Press , ISBN 978-0-691-08136-6 , < https://books.google.com/books?id=xT0SFmrFrWoC > 
• Prasad, Gopal (1973), Strong rigidity of Q-rank 1 lattices , Inventiones Mathematicae T. 21: 255–286, ISSN 0020-9910 , DOI 10.1007/BF01418789 
• Spatzier, RJ (1995), Harmonic Analysis in Rigidity Theory, i Petersen, Karl E. & Salama, Ibrahim A., Ergodic Theory and its Connection with Harmonic Analysis, Proceedings of the 1993 Alexandria Conference , Cambridge University Press, sid. 153–205, ISBN 0-521-45999-0  . (Tillhandahåller en översikt över ett stort antal styvhetsteorem, inklusive de som rör Lie-grupper, algebraiska grupper och flödesdynamik. Innehåller 230 referenser.)
• Thurston, William (1978–1981), The geometry and topology of 3-manifolds , Princeton föreläsningsanteckningar , < http://www.msri.org/publications/books/gt3m/ >  . (Ger två bevis: ett som liknar Mostows originalbevis och ett annat baserat på Gromov-normen )
• Weil, André (1960), Om diskreta undergrupper av Lie-grupper, Annals of Mathematics. Second Series vol. 72: 369–384, ISSN 0003-486X 
• Weil, André (1962), Om diskreta undergrupper av Lie-grupper. II, Annaler av matematik. Second Series vol. 75: 578–602, ISSN 0003-486X