Bernstein problem

Bernstein- problemet är ett problem om grafen för en funktion som är en minimal yta. Uppkallad efter Sergei Natanovich Bernshtein , som löste det tvådimensionella fallet med detta problem 1914.

Bernstein-problemet visade sig vara nära relaterat till frågan om förekomsten av ojämna minimala hyperytor i motsvarande dimension.

Formulering

Under vilka förhållanden måste grafen för en funktion definierad på allt , som är den minsta ytan i , vara platt? $n$ $\mathbb {R} ^{n}$ $\R^{n+1}$

Svar: Detta är sant för och falskt för . Ett motsvarande exempel på en funktion kan hittas bland funktioner i formuläret $n\leqslant 7$ $n\geqslant 8$ $f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$

f(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5},x_{6},x_{7},x_{8})=F(u, v)

var

u={\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2))},\quad { \text{u}}\quad v={\sqrt {x_{5}^{2}+x_{6}^{2}+x_{7}^{2}+x_{8}^{2}} }.

Anteckningar

Bernsteins problem visade sig vara direkt relaterat till frågan om förekomsten av en icke-plan kon som minimerar området. Ett specifikt exempel på en sådan hyperyta är ytan $\mathbb {R} ^{n}$

\{x\in \mathbb {R} ^{8}:x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^ {2}=x_{5}^{2}+x_{6}^{2}+x_{7}^{2}+x_{8}^{2}\}

Historik

1914 bevisade Bernstein att påståendet om problemet är sant för . [1] ( Bernsteins sadelgrafsats bevisades i samma tidning .) $n=2$
År 1962 gav Fleming ytterligare ett bevis för Bernsteins sats, som härledde det från det faktum att det inte finns några icke-plana areaminimerande koner i . [2] $\mathbb {R} ^{3}$
1965 visade de Giorgi att om det inte finns några areaminimerande icke-plana koner, så är en analog av Bernsteins teorem sann för . Särskilt fall följer av detta . [3] $\mathbb {R} ^{n}$ $n$ $n=3$
1966 bevisade Almgren att det inte finns några areaminimerande icke-plana koner i , och generaliserade därmed Bernsteins teorem till . $\R^4$ $n=4$
1968 visade Simons frånvaron av areaminimerande icke-plana koner i och generaliserade därmed Bernsteins sats till . [fyra] $\mathbb{R} ^{7}$ $n\leqslant 7$
- Han gav också exempel på lokalt stabila kottar i , men kunde inte bevisa att de minimerar ytan. $\mathbb {R} ^{8}$
1969 bevisade Bombieri , de Giorgi och Giusti att Simons koner verkligen minimerar och att det finns grafer i spetsen som är minimala men inte platta. [5] $\R^{n+1}$ $n\geqslant 8$
- I kombination med Simons resultat löser detta Bernstein-problemet helt.

Anteckningar

↑ Bernstein, SN (1915–1917), Sur une théorème de géometrie et ses applications aux équations dérivées partielles du type elliptic, Comm. soc. Matematik. Kharkov Vol 15: 38–45 Tysk översättning i Bernstein, Serge (1927), Über ein geometrisches Theorem und seine Anwendung auf die partiellen Differentialgleichungen vom elliptischen Typus , Mathematische Zeitschrift (Springer Berlin / Heidelberg) . — V. 26: 551–558, ISSN 0025-5874 , DOI 10.1007/BF01475472 Rysk översättning i Uspekhi matematicheskikh nauk, vol. VIII (1941), 75-81 och i S. N. Bernshtein, Samlade verk. T. 3. (1960) sid. 251-258.
↑ Fleming, Wendell H. (1962), On the oriented Plateau problem , Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo . Serie II Vol. 11: 69–90, ISSN 0009-725X , DOI 10.1007/BF02849427
↑ De Giorgi, Ennio (1965), Una estensione del teorema di Bernstein , Ann. Scuola Norm. Supera. Pisa (3) Vol. 19: 79–85 , < http://www.numdam.org/item?id=ASNSP_1965_3_19_1_79_0 > Arkiverad 16 juni 2015 på Wayback Machine
↑ Simons, James (1968), Minimala varianter i riemannska grenrör, Annals of Mathematics. Second Series Vol. 88: 62–105, ISSN 0003-486X
↑ Bombieri, Enrico ; De Giorgi, Ennio & Giusti, E. (1969), Minimal cones and the Bernstein problem , Inventiones Mathematicae T. 7: 243–268, ISSN 0020-9910 , DOI 10.1007/BF01404309