Problemet med smutsiga barn , även känt som problemet med den otrogna hustrun , problemet med blåögda öbor, eller paradoxen för blåögda öbor , är en klassisk illustration av idén om allmän kunskap . Tillhör området dynamisk epistemisk logik , löst med matematisk induktion .
Barnen lekte ute och deras pappa kallade in dem i huset. Barnen samlades kring sin far. Som det är lätt att föreställa sig, blev några av dem smutsiga när de spelade; i synnerhet vissa har ett lerigt ansikte. Varje barn kan bara se smuts på andra barns ansikten, inte på egen hand. Allt detta är känt för alla, och barn är naturligtvis idealiska logiker. Fadern säger: "Åtminstone en av er är täckt av lera." Och sedan, "De av er som vet att ni är smutsiga, kliva fram." Om ingen tar ett steg framåt, upprepar pappan sitt kommando om och om igen. Vid en viss iteration tar alla smutsiga barn ett steg framåt. När exakt kommer detta att hända om m barn av deras totala antal k är smutsiga , och varför?
Originaltext (engelska)[ visaDölj] En grupp barn har lekt ute och de kallas tillbaka in i huset av sin pappa. Barnen samlas runt honom. Som man kan föreställa sig har några av dem blivit smutsiga av pjäsen. I synnerhet: de kan ha lera i ansiktet. Barn kan bara se om andra barn är leriga och inte om det finns någon lera i deras eget ansikte. Allt detta är allmänt känt, och barnen är uppenbarligen perfekta logiker. Far säger nu: "Åtminstone en av er är lerig." Och sedan: "Kommer de som vet om de är leriga att kliva fram." Om ingen kliver fram, fortsätter pappa att upprepa begäran. I något skede kommer alla leriga barn att kliva fram. När kommer detta att hända om m av k barn totalt är leriga, och varför? — van Ditmarsch & Kooi, 2015När man analyserar vad som händer används metoden matematisk induktion [1] .
Detta resonemang visar hur m barn säkert kan veta att de är smutsiga genom den månte iterationen av processen. Men ett rigoröst bevis på att inget annat resonemang kommer att leda dem till denna slutsats tidigare är ganska icke-trivialt [2] .
Tänk på exemplet med m = 2 smutsiga barn, Alice och Bob [3] [4] .
För m = 3 barn - Alice, Bob, Caroline [4] :
För att lösa problemet och modellera barnens resonemang spelar en nyckelroll av deras kunskap om vad andra deltagare i processen vet, och i synnerhet det faktum att när, vid nästa kommando av fadern, ingen tar en steg fram, detta är liktydigt med ett offentligt meddelande (liknande faderns uttalande om att det finns minst ett smutsigt barn) att fram till denna punkt visste inget av barnen om han var smutsig eller inte. Det är också viktigt att barn inte ljuger, de resonerar helt logiskt, och dessa fakta är också kända för alla, det vill säga de kan användas i resonemang, inklusive för att modellera resonemang för vissa deltagare av andra. Resonemanget bygger i huvudsak på det faktum att var och en av deltagarna vet att var och en vet att var och en vet ... innehållet i faderns initiala uttalande och resultaten av hans kommandon att ta ett steg framåt, och denna kedja kan göras ganska lång. Detta är så, eftersom dessa fakta är allmänt kända - kedjorna "alla vet att alla vet att ..." är sanna, av godtyckligt långa längder. Begreppet allmän kunskap är viktigt i epistemisk logik, och problemet med dirty children är ett klassiskt exempel som illustrerar innehållet i detta begrepp och betydelsen av andra bestämmelser som används i lösningen [5] .
Ett liknande problem, som dock inte inkluderade synkronisering, det vill säga väldefinierade ögonblick för utbyte av information (som kommandon från fadern att komma fram), återfanns i kommentarerna till den tyska översättningen från 1832 av den berömda satirroman Gargantua och Pantagruel . Denna uppgift (både i versionen utan synkronisering och med den) blev känd i mitten av 1900-talet, tillsammans med andra uppgifter som innebar analys av vissa deltagares medvetenhet och resonemang av andra [1] .
Det finns många alternativ för tillstånden för problemet, logiskt likvärdiga, men skiljer sig i omgivning [6] : till exempel, istället för barn som är insmorda i lera, kan otrogna fruar dyka upp i tillståndet, som alla är kända för att vara otrogna för alla förutom hennes egen man - i det här fallet, första dagen görs ett offentligt tillkännagivande om att det finns otrogna fruar i staden, och mannen måste straffa sin fru samma natt som han inser att hon är otrogen (eller omvänt, hustrur straffar otrogna män) [7] .
I en annan version dyker det upp blåögda öbor [6] - religionen tvingar varje öbor att begå självmord nästa midnatt om han känner igen färgen på sina ögon, och utgångspunkten för uppgiften är kopian av en besökare på ön, varav det följer att det finns minst en blåögd invånare på ön . I denna miljö är problemet också formulerat som en paradox : resonemang genom induktion visar att om det finns m blåögda öbor på ön, så vid m - midnatt kommer de alla att begå självmord, även om m är stor - men varför, trots allt, verkar det som att besökaren inte berättade något nytt för öborna, eftersom de varje dag ser många blåögda stammän? Som följer av ovanstående är lösningen på paradoxen att innan besökarens offentligt uttalade anmärkning inte gjorde kedjan "alla öbor vet att någon vet att någon vet ... att det finns blåögda människor på ön". nå en längd som är tillräcklig för att få information om färgen på ens egna ögon [4] [2] . När man formulerar problemet i denna form är det särskilt viktigt att noggrant utarbeta ett regelsystem för de infödda för att inte ge dem möjlighet att komma runt dem och undvika en tråkig utgång [8] .