Allmänbildning

Gemensam kunskap äger rum i en situation där varje individ från en viss grupp känner till förekomsten av en viss händelse, om närvaron av denna kunskap bland andra medlemmar i gruppen, om närvaron av kunskap om närvaron av kunskap, och så vidare ad infinitum [1] . Begreppet allmän kunskap uppstod först i den filosofiska litteraturen med David Kellogg Lewis (1969). Definitionen av allmän kunskap gavs samtidigt av sociologen Morris Friedell [2] . En matematisk ( mängd-teoretisk ) tolkning utfördes 1976 av Robert Aumann , som var engagerad i konstruktionen av en epistemisk spelteori . Sedan 1980-talet har datavetenskapliga forskare blivit intresserade av konceptet . Gemensam kunskap ligger till grund för många logiska pussel, som i synnerhet studerades av John Horton Conway [3] .

Allmän kunskap är relaterad till det svagare begreppet ömsesidig kunskap . Till skillnad från det allmänna innebär det ömsesidiga medvetenhet om inträffandet av en händelse, men inga andra villkor ställs på deltagarnas kunskap. Således är allmän kunskap alltid ömsesidig (det omvända är inte sant).

Formalisering

Modal logik (syntaktisk egenskap)

Gemensam kunskap kan definieras för multimodala logiska system , där modala operatorer tolkas epistemiskt . Multimodala system är en förlängning av propositionell logik med tillägg av en grupp av agenter G och modala operatorer Ki (med i = 1, ..., n ). Uttrycket K i φ betyder "agent i vet att φ". Därefter måste du definiera en operator E G , som kommer att motsvara situationen "alla i grupp G vet att":

E_{G}\varphi \Leftrightarrow \bigwedge _{i\in G}K_{i}\varphi ,

Betecknar uttrycket som för , får vi det allmänna kunskapsaxiomet $E_{G}E_{G}^{n-1}\varphi$ $E_{G}^{n}\varphi$ $E_{G}^{0}\varphi =\varphi$

C\varphi \Leftrightarrow \bigwedge _{i=0}^{\infty }E^{i}\varphi

Här kommer en komplikation. Den epistemiska logikens språk verkar på ett ändligt antal objekt, medan axiomet för allmän kunskap innehåller konjunktionen av ett oändligt antal formler. Därför, i den epistemiska logikens språk, är formeln inte välformad . Problemet löses genom att definiera termen i termer av en fixpunkt. Allmän kunskap är den fasta punkten för uttrycket . Då kan du hitta en formel som antar att i gränsen kommer att ge en allmän kunskap . $C_{G}\varphi =\varphi \wedge E_{G}(C_{G}\varphi )$ $\psi$ $E_{G}(\varphi \wedge C_{G}\varphi )$ $\varphi$

Denna syntaktiska egenskap är utrustad med semantik med Kripke-modellen . Modellen ges av (i) en uppsättning tillstånd S , (ii) n övergångsrelationer definierade på , (iii) en märkningsfunktion . För att konstruera semantiken måste man först ange vad som är sant i ett tillstånd s om och endast om det är sant för alla tillstånd t så att . Semantiken för den gemensamma kunskapsoperatorn skapas av en reflexiv och transitiv stängning för alla agenter i i G (den resulterande relationen betecknas som ) förutsatt att det är sant i tillståndet om och endast om det är sant i alla tillstånd t så att . ${\displaystyle R_{1},\dots ,R_{n))$ $S\times S$ $\pi$ $K_{i}\varphi$ $\varphi$ ${\displaystyle (s,t)\in R_{i))$ $R_i$ $R_{G}$ $C_{G}\varphi$ $\varphi$ $(s,t)\i R_{G}$

Mängdteori (semantisk egenskap)

En alternativ men likvärdig formalisering av allmän kunskap ges av Robert Aumann i termer av mängdlära . Det finns en uppsättning tillstånd S . Dess delmängder kallas händelser. För varje enskild i definieras en partition S - Pi . Partitionering tjänar till att karakterisera kunskapen om en individ i ett visst tillstånd. I tillstånd s vet individ i att några (men inte vilka) av tillstånden som ingår i mängden Pi ( s ) , som är ett element i partitionen Pi som innehåller s , har uppstått . I denna modell är möjligheten till felaktig kunskap utesluten.

Kunskapsfunktionen definieras enligt följande:

{\displaystyle K_{i}(e)=\{s\in S\mid P_{i}(s)\subset e\))

Det vill säga, Ki( e ) är uppsättningen av tillstånd där individen känner till förekomsten av händelsen e . Ki ( e ) är en delmängd av e .

Då definieras operatören "alla vet om förekomsten av e " som

E(e)=\bigcap _{i}K_{i}(e)

Som i fallet med modal logik, appliceras funktionen E iterativt, och . Funktionen för delad kunskap ser ut så här: $E^{1}(e)=E(e)$ $E^{n+1}(e)=E(E^{n}(e))$

C(e)=\bigcap _{n=1}^{\infty }E^{n}(e).

Likvärdigheten mellan tillvägagångssätten är lätt att påvisa. Givet en Aumann-modell kan motsvarande Kripke-modell bestämmas. För att göra detta är det nödvändigt (i) att specificera samma uppsättning tillstånd S , (ii) att specificera övergångsrelationer som definierar ekvivalensklasserna som motsvarar partitioner , (iii) att specificera en märkningsfunktion som tilldelar värdet "true" till proposition p om och endast om tillstånden s är sådana, att , var är händelsen från Aumann-modellen som motsvarar påståendet p . Det är lätt att se att funktionen som definieras i det sista avsnittet motsvarar den bästa övergripande förgrovningen av partitioner för alla , vilket är det yttersta kännetecknet för allmän kunskap (även givet av Aumann 1976). $R_i$ $Pi}$ ${\displaystyle s\in E^{p))$ ${\displaystyle E^{p))$ $R_{G}$ $Pi}$ $i\in G$

Exempel

Begreppet allmän kunskap kan avslöjas på exemplet med problemet med smutsiga barn . Det bor k blåögda människor på ön, alla andra har gröna ögon. Till en början känner ingen av invånarna ögonfärgen. Enligt lag, om en öbo känner igen färgen på hans ögon, måste han lämna ön vid soluppgången nästa dag. Alla på ön känner till alla andras ögonfärg, det finns inga reflekterande ytor och det är aldrig någon diskussion om ögonfärg.

Vid något tillfälle anländer en utlänning till ön, samlar invånarna på ön och gör ett offentligt tillkännagivande och säger: "Åtminstone en av er har blå ögon." Alla vet att den här utlänningen alltid talar sanning, och informationen om att åtminstone en öbo har blå ögon blir allmänt känt. Frågan är: om vi antar att alla invånare på ön är logiska och detta också är allmänt känt, hur kommer saken att sluta?

Svaret är: den k-te gryningen efter tillkännagivandet kommer alla blåögda att lämna ön. Lösningen kan göras genom induktion. Om k=1, det vill säga det finns exakt en blåögd person på ön, inser denna person omedelbart att han ensam har blå ögon, eftersom det bara finns grönögda människor runt omkring, och kommer att lämna ön vid första gryning. Om k = 2, så kommer ingen att lämna ön vid första gryningen, men dessa två, som bara ser en blåögd person runt omkring och vet att ingen lämnade ön vid första gryningen (och därför k>1), kommer att lämna ön vid andra gryningen. Det är lätt att bevisa genom induktion att ingen kommer att lämna ön efter den första k-1 gryningen om och bara om det finns minst k blåögda människor på ön, och att alla blåögda människor kommer att lämna ön på den k:te gryningen om det finns exakt k av dem.

I det här scenariot är det mest intressanta att, för k>1, utlänningen bara berättar för öborna vad de redan vet: att det finns blåögda människor bland dem. Det viktiga är att innan detta faktum uttalades var det inte allmänt känt.

Ett exempel på ett problem som illustrerar omöjligheten att uppnå allmän kunskap när det gäller en tillförlitlig kommunikationskanal är problemet med två generaler . Det finns två arméer, var och en ledd av sin egen general, som förbereder sig för att storma staden. Dessa arméers läger ligger på två kullar åtskilda av en dal. Det enda sättet att kommunicera mellan generalerna är att skicka budbärare med meddelanden över dalen. Men dalen är ockuperad av fienden och vilken som helst av budbärarna kan fångas upp. Problemet är att generalerna fattade ett grundläggande beslut om överfallet i förväg (medan det fanns kommunikation), men inte kom överens om den exakta tidpunkten för överfallet. Problemets komplexitet ligger i omöjligheten att utveckla en algoritm för garanterad meddelandehantering.

Anteckningar

↑ Osborne, Martin J. och Ariel Rubinstein . En kurs i spelteori . Cambridge, MA: MIT, 1994. Tryck.
↑ Morris Friedell, "Om strukturen för delad medvetenhet," Behavioral Science 14 (1969): 28–39.
↑ Ian Stewart. I Know That You Know That... // Math Hysteria (engelska) . — Oxford University Press , 2004.

Länkar

Jurij Ustinovskij. Om vise män och otrogna hustrur . Elements (30 juli 2012). (obestämd)

Spel teori
Grundläggande koncept	Ömsesidig och gemensam kunskap Spelare Hierarki av tro Irrationell förstärkning Strategi ( dominans ) Omvänd induktion
Typer av spel	Samtidigt , sekventiellt och repetitivt Icke -samarbetsvillig och samarbetsvillig Med fullständig , ofullständig , perfekt och ofullständig information I normal och utökad form Antagonistisk Differentiell Stokastisk Kampen mellan könen Rådjursjakt
Lösningskoncept	Riskdominans Korrelerad jämvikt Balansen av en darrande hand Nash jämvikt Subgame perfekt jämvikt Rationaliserbarhet Sekventiell jämvikt stark balans Egen balans Evolutionärt stabil strategi Epsilon-jämvikt Pareto effektivitet Kärna
Spelexempel	Fångens dilemma Uppgiften för baren "El Farol" Bertrand modell Cournot modell Stackelberg modell Orlyanka Tragedin med delade resurser hökar och duvor
Epistemisk spelteori Mekanism design Rättvis uppdelning