Dominans (spelteori)

Dominans i spelteori är en situation där en av strategierna för en viss spelare ger en större utdelning än en annan, för alla handlingar av hans motståndare. Det omvända konceptet, intransitivitet , uppstår om någon strategi kan ge mindre utdelning än en annan, beroende på de andra deltagarnas beteende.

Begreppet dominans används för att lösa eller förenkla vissa typer av icke-kooperativa spel .

Terminologi

När spelaren väljer sin strategi från uppsättningen av tillåtna strategier, jämför spelaren resultaten av sin ansökan efter preferens. Tre typer av resultat kan uppstå:

• Strategi B dominerar strategi A om, för andra spelares beteende, användningen av strategi B inte leder till något sämre resultat än att använda A. Det finns strikt dominans när B ger en större utdelning än A, under alla omständigheter, och svag dominans , om andra spelare under vissa åtgärder ger B en större utdelning än A, och för andra - samma sak med henne.
• Strategi B domineras av strategi A om, för något beteende hos de andra spelarna, strategi B inte leder till något bättre resultat än strategi A. På samma sätt som i föregående fall kan en strategi domineras starkt eller svagt.
• Strategi A och B kallas icke -transitiv om B inte dominerar A och A inte dominerar B. Detta innebär att, beroende på valet av strategier av andra spelare, kan både valet av strategi A och B ge stora utdelningar till spelare.

Detta koncept är generaliserat för att jämföra mer än två strategier:

• En strategi B sägs vara strikt dominant om den strikt dominerar någon annan tillåten strategi för spelaren.
• Strategi B sägs vara svagt dominerande om den dominerar spelarens alla andra genomförbara strategier, av vilka några är svagt dominerade.
• Strategi B kallas strikt dominerad om det finns en annan strategi som strikt dominerar den.
• Strategi B kallas svagt dominerad om det finns en annan strategi som svagt dominerar den.

Formella definitioner

En spelares strategi sägs svagt dominera strategi if

Här är den direkta produkten av de strategiska seten för alla spelare utom -th.

Strategin är strikt dominerande om

Dominans och Nash-jämvikter

Om det finns en strikt dominerande strategi för en av spelarna kommer han att använda den i någon av Nash-jämvikterna i spelet. Om alla spelare har strikt dominerande strategier har spelet en unik Nash-jämvikt. Denna jämvikt kommer dock inte nödvändigtvis att vara Pareto-effektiv , dvs. ojämviktsresultat kan ge alla spelare en större utdelning. Ett klassiskt exempel på denna situation är spelet Prisoner's Dilemma .

Användningen av strikt dominerade strategier är under inga omständigheter rationellt för spelarna, och därför kommer de inte att inkluderas i Nash-jämvikten. Samtidigt kan svagt dominerade strategier komma i jämvikt. Ett exempel på ett sådant spel visas till höger.

Här domineras båda spelarnas strategier D svagt av deras strategier C . Situationen ( D , D ) är dock Nash-jämvikten i detta spel. Faktum är att ingen av spelarna, genom att avvika från att använda D , kan få mer utdelning om den andra spelaren håller sig till D .

Successiv uteslutning av dominerade strategier

Successiv uteslutning av dominerade strategier är en vanlig teknik för att lösa eller förenkla icke-samarbetande spel. Det bygger på antagandet att parterna under spelet inte kommer att använda dominerade strategier och därför kan de ignoreras i ytterligare beslut. Att utesluta dessa strategier från övervägande leder dock till en begränsning av uppsättningen av möjliga situationer, som ett resultat av vilket nya dominerade strategier kan uppstå som inte dominerades i det ursprungliga spelet. Successiv uteslutning av dominerade strategier består i att hitta och ta bort dem i en sekvens av reducerade spel med krympande uppsättningar av spelsituationer.

Denna process kan stoppas, vilket leder till ett reducerat spel där spelarnas alla strategier är icke-transitiva eller till en enda situation. Om starkt dominerade strategier togs bort är denna situation den enda Nash-jämvikten i spelet. Att ta bort svagt dominerade strategier leder också till en Nash-jämvikt, men denna jämvikt kanske inte är unik. I vissa spel, beroende på sekvensen av att ta bort svagt dominerade strategier, kan den iterativa elimineringsprocessen konvergera till olika Nash-jämvikter.

Exempel

Ett exempel på att lösa ett spel genom successiv eliminering av strikt dominerade strategier. [ett]

Låt spelare A och B delta i spelet. För spelare A finns strategierna a 1 och a 2 tillgängliga , för spelare B - strategierna b 1 , b 2 , b 3 . Spelare väljer strategier samtidigt och oberoende av varandra. Tabellen visar betalningarna som spelare får genom att spela sin strategi, beroende på den valda strategin för en annan spelare. Den första siffran i cellen är den första spelarens betalning, numret efter semikolonet är betalningen som den andra spelaren tar emot.

källtabell. Tabellen visar till exempel att om spelare A spelar strategi a 2 och spelare B spelar strategi b 3 så får spelare A 4 poäng och spelare B 1 poäng.

Det kan ses att oavsett valet av spelare A, för den andra spelaren är strategi b 2 sämre i sina egenskaper än strategi b 3 (6 < 9 och 0 < 1).

Därför kan kolumnen med strategin b 2 ignoreras vid vidare övervägande, vi tar bort den. Ur spelare A:s synvinkel, bland de återstående strategierna, är en 1 klart sämre än en 2 (6 < 7 och 3 < 4)

Stryk över gränsen med strategi a 1 . Det finns bara två celler kvar i betalningstabellen, och för den andra spelaren är strategi b 1 klart att föredra framför strategi b 3 (1 < 7).

Genom att utesluta starkt dominerade strategier har vi alltså löst spelet: rationella spelare kommer att spela strategierna b 1 och a 2 , varje spelare kommer att få en utdelning på 7.

Anteckningar

1. ↑ Tabell från spelteorikursen Arkiverad 17 februari 2015 på Wayback Machine av Dmitry Dagaev (Higher School of Economics) på Coursera

Litteratur

• Vasin A. A. , Morozov  V. V. Spelteori och modeller för matematisk ekonomi. - M. : Max-press, 2005. - 272 sid. — ISBN 5-317-01388-7 .
• Vasin A.A. Icke-kooperativa spel i natur och samhälle. Moskva: Max Press, 2005, 412 sid. ISBN 5-317-01306-2 .
• Danilov V. I. Föreläsningar om spelteori . - M.: NES, 2002. - 140 sid. : sjuk. ISBN 5-8211-0193-X
• Petrosyan L.A. , Zenkevich N.A., Semina E.A. Spelteori: Proc. ersättning för okamrat. - M . : Högre. Skola, Bokhuset "Universitetet", 1998. - S. 304. - ISBN 5-06-001005-8 , 5-8013-0007-4.
• Pechersky, S.L., Belyaeva, A.A. Spelteori för ekonomer. Introduktionskurs. (Lärobok) - St. Petersburg: Publishing House of the European University, 2001.