Isotermiskt koordinatsystem

Ett isotermiskt koordinatsystem av en yta i det euklidiska rymden vars små koordinatrutor ligger nära kvadrater.

Definition

Koordinatsystemet på ytan kallas isotermiskt om komponenterna i den första kvadratiska formen uppfyller relationerna och . $E,F,G$ $E=G$ $F=0$

Anteckningar

Koordinatlinjerna i ett isotermiskt koordinatsystem bildar det så kallade isotermiska nätverket .

Exempel

På revolutionens yta bildar meridianerna och parallellerna ett isotermiskt nätverk
Asymptotiskt nätverk på en minimal yta - isotermiskt nätverk

Egenskaper

Ett isotermiskt koordinatsystem definierar en konform avbildning på ett plan. Det vill säga, ytans linjära element har formen: $ds^{2}=\rho (du^{2}+dv^{2})$

var är den konforma faktorn .

\rho

Om en harmonisk funktion på ytan har en gradient som inte är noll , är funktionen vid något tillfälle en koordinat för något isotermiskt koordinatsystem . Den andra funktionen kallas konjugera till , den är unikt definierad upp till skift och tecken. $u$ $\nabla _{p}u\neq 0$ $sid$ $u$ $(u,v)$ $v$ $u$

Gaussisk krökning i ett isotermiskt koordinatsystem uttrycks med formeln $K=-{\frac {1}{2}}e^{-\varphi }\Delta \phi =-{\frac {1}{2}}e^{-\varphi }\left({ \frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial u^{2))}+{\frac {\partial ^{2}\varphi}{\partial v^{2))}\right),$

var är konformfaktorn.

{\displaystyle \rho =e^{\varphi ))

Variationer och generaliseringar

Ett isotermiskt nätverk är ett specialfall av ett rombiskt nätverk .

Se även

Isoterm yta