Omvänd grupp

En invers grupp är en konstruktion i gruppteorin som byter ut argumenten för en binär gruppoperation, som används för att bestämma rätt åtgärd . För en given grupp är den konstruerad som en grupp med samma uppsättning element, men med en produkt som definieras av regeln . $G=(G,\cdot)$ $G^{op}=(G, {*})$ ${*}$ $g * h := h \cdot g$

Den omvända gruppen av en abelisk grupp är densamma som sig själv. Den omvända gruppen av en grupp är isomorf till den: en isomorfism är till exempel ; dessutom genererar all anti-automorfism (en en-till-en-mappning av en grupp på sig själv som uppfyller relationen ) motsvarande isomorfism : $g\mapsto g^{-1}$ $\psi: G \till G$ $\psi (a\cdot b)=\psi (b)\cdot \psi (a)$ $\varphi: G \to G^{op}$

\varphi(a \cdot b) = \psi(a \cdot b) = \psi(b) \cdot \psi(a) = \psi(a) * \psi(b) = \varphi(a) * \ varphi(b)

Om den högra åtgärden för en grupp på ett objekt av någon kategori ges: , då , definierad som (eller ), är en vänsteråtgärd. $G$ $\rho: G \to \mathrm{Aut}(X)$ $\rho^{op}: G^{op} \to \mathrm{Aut}(X)$ $\rho^{op}(g) = \rho(g)$ $g^{op}x = xg$

Med en kategorisk definition av en grupp blir den inversa gruppen ett specialfall av den dubbla kategorin .

Litteratur

Vinberg E. B. Algebrakurs. - 3:e upplagan - Moscow: Factorial Press, 2002. - 544 sid. - 3000 exemplar. — ISBN 5-88688-060-7 .