Injektivt metriskt utrymme

Ett injektivt metriskt utrymme är ett metriskt utrymme som har vissa egenskaper; sådana utrymmen är den verkliga linjen, alla metriska träd och andra. $L^{\infty }$

Definition

Ett komplett geodetiskt metriskt utrymme sägs vara injektivt om en godtycklig familj av bollar i har en gemensam punkt, om några två bollar i denna familj skär varandra. $X$ $X$

Exempel

Verklig linje , såväl som eventuellt stängt intervall.
Utrymme av funktioner på alla utrymmen med sup-norm.
Vilket metriskt träd som helst .

Egenskaper

I ett injektionsutrymme är radien för varje uppsättning halva dess diameter.
- Således uppfyller injektiva utrymmen den starkaste formen av Youngs teorem .
Injektionsutrymmet är komplett .
Varje kort avbildning av ett injektivt utrymme med ändlig diameter i sig själv fixar en punkt.
Ett metriskt utrymme är injektivt om och endast om det är ett injektivt objekt i kategorin metriska utrymmen och korta mappningar med avseende på extrema monomorfismer .
- Med andra ord är ett mellanslag injektivt om det för någon kort mappning och isometrisk inbäddning finns en kort mappning så att . $X$ $f\colon A\to X$ $\phi \colon A\to B$ $g\colon B\to X$ $f=g\circ \phi$
Alla metriska utrymmen är inbäddade i det så kallade injektionsskalet , det minimala injektionsutrymmet som innehåller det ursprungliga. (Det injektiva skrovet liknar det konvexa skrovet .)
- Det injektiva skrovet för ett givet metriskt utrymme bestäms unikt upp till en isometri som pendlar med en injektion.

Se även

Kategori av metriska utrymmen

Länkar

Isbell, JR Sex satser om injektiva metriska rum (engelska) // Commentarii Mathematici Helvetici : journal. - 1964. - Vol. 39 . - S. 65-76 . - doi : 10.1007/BF02566944 .