Karta över Carnot

Carnot-karta ( Carnot- kub , Carnot -diagram , Veitch-karta ) är ett grafiskt sätt att representera booleska funktioner med syftet att deras bekväma och visuella manuella minimering [1] .

Det är ett av de likvärdiga sätten att beskriva eller specificera logiska funktioner tillsammans med en sanningstabell eller booleska algebrauttryck . Omvandlingen av Karnaugh-kartan till en sanningstabell eller en boolesk formel och vice versa utförs av en elementär algoritm.

Bekvämligheten och tydligheten med en sådan representation av den logiska funktionen beror på det faktum att de logiska termerna på vilka operationerna med parvis ofullständig limning och elementär absorption kan tillämpas är grupperade i Carnot-kartan i form av visuellt uppenbara rektangulära arrayer som innehåller samma värden (nollor och ettor) i sina celler.

Karnaugh-kartor kan betraktas som en utveckling på planet för en n - dimensionell boolesk kub , och dimensionen av denna hyperkub sammanfaller med antalet variabler för funktionen som representeras, och varje vertex av hyperkuben motsvarar en-till-en en cell på Karnaugh-kartan. Grafiskt är Karnaugh-kartan avbildad som en rektangel eller kvadrat av celler, vars antal är lika med , och två intilliggande celler vertikalt eller horisontellt eller, med andra ord, i von Neumann-kvarteret beskriver termer som skiljer sig åt i endast en variabel - med logisk negation och utan logisk negation . Också intill är de första och sista raden, kolumnerna längst till vänster och längst till höger i tabellen, så Carnot-tabellen är faktiskt en utveckling av en logisk hyperkub på ytan av en toroid . Det är möjligt att bygga en mängd olika kartor för samma funktion som uppfyller villkoret: cellers geometriska grannskap i meningen von Neumann är termernas logiska grannskap - det vill säga med Hamming-avståndet mellan termerna för angränsande celler lika till 1. Vilken som helst av dessa tabeller är lika bekväma för att minimera funktionen, men vanligtvis är variabler i rader och kolumner i Karnaugh-kartan ordnade enligt den reflexiva Gray-koden på grund av mnemoniken och klarheten. $2^{n}$

Historik

Karnaugh kartor introducerades 1952 av Edward V. Veitch [2] och förbättrades 1953 av Bell Labs fysiker Maurice Karnaugh för att förenkla designen av digitala system [3] .

Grundläggande principer

En Karnaugh-karta är en sanningstabell formaterad på ett speciellt sätt, lämplig för visuell manuell minimering. Resultatet av minimering är antingen en disjunktiv normal form (DNF) eller en konjunktiv normal form (CNF). I det första fallet utförs arbete med cellerna på kartan där det finns ettor, i det andra - med cellerna där det finns nollor. I den ursprungliga kartan, såväl som i sanningstabellen, motsvarar varje enhet en term av den perfekta disjunktiva normalformen (PDNF) , och varje nolla motsvarar en term av den perfekta konjunktiva normalformen (CKNF) .

Närliggande grupper av ettor eller nollor på Karnaugh-kartan kombineras till rektangulära områden eller "limningar" efter storleken på cellerna. Varje sådan grupp i den slutliga logiska formeln kommer att motsvara en term (om vi antar att den logiska " ELLER "-operationen är "summation", och den logiska " OCH "-operationen är "multiplikation", så motsvarar en term en term i fallet med DNF, eller till en faktor i fallet med CNF) som innehåller variabler, brukar denna gruppering kallas "limning" [4] . Att arbeta med kartan handlar alltså om att välja den optimala uppsättningen av flera grupper av ettor (nollor) och omvandla dem till ett logiskt uttryck. ${\displaystyle 2^{a}\times 2^{b))$ $nab$

Principer för minimering

Huvudmetoden för att minimera logiska funktioner representerade som SDNF eller SKNF är operationen av parvis ofullständig limning och elementär absorption. Operationen av parvis limning utförs mellan två termer som innehåller samma variabler, vars förekomster (direkt och invers) är desamma för alla variabler utom en. I det här fallet kan alla variabler, utom en, tas ut från parentes, och de direkta och omvända förekomsterna av en variabel som finns kvar inom parentes kan absorberas. Till exempel:

${\overline {X}}_{1}X_{2}X_{3}X_{4}\vee {\overline {X}}_{1}X_{2}{\overline {X}}_{3 }X_{4}={\overline {X}}_{1}X_{2}X_{4}(X_{3}\vee {\overline {X}}_{3})={\overline {X }}_{1}X_{2}X_{4}\cdot 1={\överlinje {X}}_{1}X_{2}X_{4}.$

På samma sätt för CNF:

$({\overline {X}}_{1}\vee X_{2}\vee X_{3}\vee X_{4})({\overline {X}}_{1}\vee X_{2}\ vee {\overline {X}}_{3}\vee X_{4})={\overline {X}}_{1}\vee X_{2}\vee X_{4}\vee X_{3}{ \overline {X}}_{3}={\overline {X}}_{1}\vee X_{2}\vee X_{4}\vee 0={\overline {X}}_{1}\ vee X_{2}\vee X_{4}.$

Möjligheten till absorption följer av de uppenbara jämlikheterna:

$A\vee {\overline {A}}=1;A{\overline {A}}=0.$

Sålunda är huvuduppgiften för att minimera SDNF och SKNF sökandet efter termer lämpliga för limning med efterföljande absorption, vilket för funktioner av många logiska variabler kan vara en ganska svår uppgift. Karnaugh-kartor ger ett visuellt sätt att hitta sådana termer.

Booleska funktioner för N variabler, representerade som SDNF eller SKNF, kan inte innehålla mer än olika termer. Alla dessa elementära termer kan representeras som någon struktur topologiskt ekvivalent med en dimensionell kub, och vilka två termer som helst som är förbundna med en kant är lämpliga för limning och absorption. $2^{n}$ $n$

Figuren visar en enkel sanningstabell för en funktion av två variabler, en 2-dimensionell kub (kvadrat) som motsvarar denna tabell, samt en 2-dimensionell kub med beteckningen SDNF-medlemmar och en motsvarande tabell för gruppering av termer:

När det gäller en funktion av tre variabler har man att göra med en tredimensionell kub. Detta är mer komplicerat och mindre visuellt, men tekniskt möjligt. Som ett exempel visar figuren sanningstabellen för en boolesk funktion av tre variabler och motsvarande kub.

Som framgår av figuren, för det tredimensionella fallet, är mer komplexa konfigurationer av termer möjliga. Till exempel kombineras fyra termer som hör till samma yta av en kub till en term med absorption av två variabler:

${\overline {X}}_{1}{\overline {X}}_{2}{\overline {X}}_{3}\vee X_{1}{\overline {X}}_{2} {\overline {X}}_{3}\vee {\overline {X}}_{1}{\overline {X}}_{2}X_{3}\vee X_{1}{\overline {X }}_{2}X_{3}=$

$={\overline {X}}_{2}({\overline {X}}_{1}{\overline {X}}_{3}\vee {\overline {X}}_{1}X_{ 3}\vee X_{1}{\overline {X}}_{3}\vee X_{1}X_{3})={\overline {X}}_{2}({\overline {X}} _{1}\vee X_{1})({\overline {X}}_{3}\vee X_{3})={\overline {X}}_{2}$

I det allmänna fallet kan vi säga att termerna som hör till en av hyperkubens -dimensionella yta limmas till en term, medan variablerna absorberas. $2^k$ $k$ $k$

För att förenkla arbetet med booleska funktioner för ett stort antal variabler föreslogs följande praktiska knep. Kuben, som är en struktur av termer, viks ut på ett plan, som visas i figuren. Därmed blir det möjligt att representera booleska funktioner med fler än två variabler i form av en platt tabell. Man bör komma ihåg att ordningen på termkoderna i tabellen (00 01 11 10) inte motsvarar ordningen för de binära talen som skrivs i lexikografisk ordning (00 01 10 11), och cellerna som finns i de extrema kolumnerna av bordet ligger intill varandra.

På samma sätt kan du arbeta med logiska funktioner för ett större antal variabler.

Representationsstilar för Carnot-kartor

Traditionellt finns det flera stilar för att presentera Karnot-kartor. Ofta innehåller rubriken och den vänstra kolumnen de numeriska värdena för variablerna, precis som de visas i sanningstabellen (a). I denna stil är det mest uppenbart att Karnaugh-kartan är en speciell form av sanningstabellsrepresentation. Cellerna på Karnaugh-kartan följer dock i en något annan ordning än raderna i sanningstabellen, eftersom det är brukligt i sanningstabellen att ordna raderna i den lexikografiska ökningen av binära tal. Till exempel, i en Karnaugh-karta för fyra variabler, kommer ordningen på kartcellerna och raderna i sanningstabellen att sammanfalla om tredje-fjärde kolumnerna och tredje-fjärde raderna på kartan byts om.

Varje rad i sanningstabellen och varje cell i Karnaugh-kartan motsvarar en term i DNF, så förekomsten av variabler (direkt och invers) kan indikeras i rubriken och vänster kolumn på kartan, som de ser ut i SDNF ( b). Det finns en förkortad version av denna presentationsstil, där de extra raderna och kolumnerna anger i vilken form, direkt eller invers, varje variabel presenteras i motsvarande rad eller kolumn på kartan (c).

Slutligen, i vissa fall, anger linjer kolumner och rader vid kartans kanter, där motsvarande variabel representeras i direkt form (d).

a) b) c) d)

Hur man arbetar med Karnot-kartan

Den första informationen för att arbeta med Karnaugh-kartan är sanningstabellen för den minimerade funktionen. Sanningstabellen innehåller fullständig information om den logiska funktionen, och ger dess värden på alla möjliga 2 n uppsättningar av indatavariabler X 1 ... X n . Karnaugh-kartan innehåller också 2 n celler, som var och en är associerad med en unik uppsättning indatavariabler X 1 … X n . Det finns alltså en en-till-en-överensstämmelse mellan sanningstabellen och Karnaugh-kartan, och Karnaugh-kartan kan ses som en lämpligt formaterad sanningstabell.

I detta avsnitt används funktionen av fyra variabler som ges av sanningstabellen som visas i Fig. 2 som ett exempel. 2a. Carnot-kartan för samma funktion visas i fig. 2b.

Limningsprinciper

Ett rektangulärt område i Karnaugh-kartan, som består av 2 k identiska värden (ettor eller nollor, beroende på vilken form du behöver få) kommer att kallas limning , grupp eller område . Fördelningen av alla nollor (ettor) i Carnot-kartan över limningar kommer att kallas en täckning . För att minimera den booleska funktionen är det nödvändigt att konstruera en sådan täckning av Carnot-kartan så att antalet limningar är minimalt och storleken på varje limning så stor som möjligt. För att göra detta måste du följa följande regler.

Celler av samma Carnot-karta kan limmas både med ettor (a) och med nollor (b). Den första är nödvändig för att erhålla DNF , den andra är nödvändig för att erhålla CNF .

a) b)

Du kan bara limma rektangulära områden med antalet ettor (nollor) som är en heltalspotens av två (1, 2, 4, 8, 16, 32... celler).

Det rekommenderas att välja maximalt möjliga limningsområden. Om limningsytan inte är den maximala möjliga kommer detta inte att vara ett fel, men DNF (CNF) kommer inte att vara det minsta.

I vissa situationer bildas en isolerad etta eller noll i layouten, som inte kan inkluderas i något område. I detta fall håller enheten (noll) ihop "med sig själv". Du kan inte lämna "hängande" ettor (nollor), eftersom detta leder till ett felaktigt uttryck för funktionen.
Alla ettor (nollor) måste falla inom något område.

Området som ska limmas måste innehålla samma värden - endast ettor eller bara nollor.

För Karnaugh-kartor med antalet variabler 3 och 4 gäller följande regel: de extrema cellerna i varje horisontell och varje vertikal gräns mot varandra och kan kombineras till rektanglar (topologiskt är Karnaugh-kartan en torus). En konsekvens av denna regel är närliggande alla fyra hörnceller i Karnaugh-kartan för 4 variabler. För Carnot-kartor med mindre än 3 variabler är denna regel inte vettig, eftersom de extrema cellerna redan gränsar till varandra; för Karnaugh-kartor med fler än fyra variabler är angränsningsreglerna mer komplexa.

En cell i Karnot-kartan kan inkluderas i flera områden samtidigt. Detta följer av den uppenbara egenskapen hos booleska funktioner: upprepningen av en redan existerande term (faktor) påverkar inte funktionen: $A\vee A=A;A\cdot A=A.$

Man ska inte i onödan inkludera en cell i alla möjliga limningar, detta är inte ett misstag, men det komplicerar formeln. Ur DNF ( CNF ) minimalitetssynpunkt bör antalet limningar vara så litet som möjligt (varje ytterligare limning genererar en extra term), och antalet celler i limningen bör vara så stort som möjligt (ju fler celler i limningen, desto färre variabler innehåller termen A 2 k celler genererar en term med n - k variabler) [4] .

Till skillnad från SDNF och SKNF är DNF och CNF inte alltid unika. För vissa funktioner finns det flera DNF (CNF) som motsvarar varandra, vilket motsvarar olika sätt att täcka Karnaugh-kartan med rektangulära områden. Mycket ofta har två olika DNF (CNF) samma komplexitet, vilket inte tillåter en att göra ett entydigt val av minimiformeln.

Kort med osäkra betydelser

I praktiken finns det fall då, för vissa värden av argumenten, den booleska funktionen inte är definierad. Till exempel beskriver en boolesk funktion en digital enhet för vilken vissa kombinationer av insignaler är fysiskt omöjliga, eller för vissa värden på ingångssignalerna spelar enhetens reaktion ingen roll. I sådana fall talar man om "osäkra förhållanden", och en funktion av detta slag kallas "delvis definierad" eller helt enkelt "partiell" [5] .

Bilden visar en digital enhet F med fyra binära ingångar . Ingångssignalerna kan vara avläsningar av sensorer som fungerar på en krets och därför bara har två värden - "på" (1) och "av" (0). Låt oss anta att på grund av enhetens designfunktioner kan den andra och fjärde sensorn inte fungera samtidigt, det vill säga kombinationen av signaler är fysiskt omöjlig. I det här fallet spelar värdet på funktionen i de fyra cellerna i Karnot-kartan ingen roll, vilket villkorligt visas med symbolen "×". ${\displaystyle x_{1}...x_{4))$ $x_{2}x_{4}=11$

Sådana celler kan godtyckligt inkluderas i vilken limning som helst, och får inte heller inkluderas i någon limning, det vill säga de kan valfritt definieras som 1 eller 0 [5] .

Konvertera en karta till en formel

När alla limningar på Karnaugh-kartan är bestämda är det nödvändigt att konvertera den resulterande Karnaugh-kartan till en formel. När de gör det styrs de av följande principer:

Varje limning på Karnaugh-kartan är en DNF-term vid limning med ettor och en CNF-faktor vid limning med nollor.
Om limningen täcker 2k celler kommer det att motsvara en term av n–k faktorer i DNF och en faktor med nk termer i CNF. Till exempel, när man minimerar en funktion av 4 variabler, kommer en limning av 4 enheter att motsvara en term av två faktorer.
I Karnaugh-kartan, för varje variabel, finns det två zoner, som var och en upptar exakt hälften av kartans celler. I en zon finns variabeln i direkt form, i den andra - i omvänd form. Om limningen helt ligger i någon av dessa zoner finns motsvarande variabel i termen (faktor). Om limningen ligger samtidigt i två zoner, upplever denna variabel absorption och är inte närvarande i termen (faktor).

Beskrivning

En Karnaugh-karta kan byggas för hur många variabler som helst, men det är bekvämt att arbeta med högst fem variabler. I huvudsak är en Karnaugh-karta en sanningstabell som presenteras som en matris i 2-dimensionell form.

Varje cell i denna karta motsvarar en rad i den klassiska sanningstabellen och betecknas med en rad variabler med och utan inversioner. Till exempel, låt in sanningstabellen för en funktion av 4 variabler en av raderna ser ut så här: 0 1 1 0 | 1, så kommer cellen i Karnaugh-kartan som motsvarar denna rad att ha ett namn och i denna cell sätts 1. Indikeringen av cellnamn i Karnaugh-kartan utförs vanligtvis av en extra rad överst och en extra kolumn till vänster . $x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},$ ${\overline {x}}_{1},x_{2},x_{3},{\overline {x}}_{4}$

Det är väsentligt att angränsande celler i Carnot-kartan nödvändigtvis har angränsande koder i betydelsen Hamming-avståndet , det vill säga Hamming-avståndet mellan angränsande celler är lika med 1, och skiljer sig endast i tillståndet - med eller utan inversion, av en och endast en av variablerna. Närliggande celler är celler som gränsar till varandra vid sidan, även celler i kolumnerna längst till vänster och längst till höger och cellerna i den första och sista raden betraktas som närliggande celler. Således är en Carnot-karta på ett plan topologiskt ekvivalent med ytan på en torus i tredimensionell rymd, eller en hypertorus i ett rymd med dimension 1 större än dimensionen för motsvarande flerdimensionella Karnot-karta.

Eftersom permutationen av variabler i en logisk funktion inte ändrar själva funktionen, det vill säga, till exempel, eller, som är densamma, permutationen av kolumnerna med variabler i sanningstabellen inte ändrar funktionen, finns det flera alternativ för att visa sanningstabellen på en Karnaugh-karta samtidigt som cellernas "grannskap" bibehålls. Men i praktiken fylls Karnaugh-kartan oftast i med en inkrementell grå kod för att ange rader och kolumner. Detta tillvägagångssätt garanterar genereringen av en Karnot-karta med undvikande av subjektiva fel. $F(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})=F(x_{4},x_{2},x_{3},x_{1})$

När kartan är ifylld, i skärningspunkten mellan raden och kolumnen, anges motsvarande värde från sanningstabellen - 0 eller 1. Efter att kartan är ifylld startas minimering.

Om det är nödvändigt att erhålla den lägsta DNF , så betraktar vi i kartan endast de celler som innehåller ettor, om CNF behövs , då överväger vi de celler som innehåller nollor. Själva minimeringen utförs enligt följande regler (till exempel DNF).

Vi kombinerar intilliggande celler som innehåller ettor till ett område så att ett område innehåller ( heltal = 0 ... ) celler (kom ihåg att de extrema raderna och kolumnerna ligger intill varandra), området ska inte innehålla celler som innehåller nollor; $2^{n}$ $n$ $\infty$
Området måste vara symmetriskt med axeln/axlarna (axlarna är placerade var fjärde cell);
Icke-angränsande områden som är belägna symmetriskt till axeln eller axlarna kan kombineras till ett;
Ytan ska vara så stor som möjligt och antalet ytor så litet som möjligt;
Regioner kan överlappa varandra;
Flera täckningsalternativ finns tillgängliga.

Därefter tar vi det första området och ser vilka variabler som inte förändras inom detta område, skriver ut konjunktionen av dessa variabler; om den oföränderliga variabeln är noll, sätt inversionen över den . Vi tar nästa område, gör samma sak som för det första och så vidare för alla områden. Områdens konjunktioner kombineras med disjunktion .
Till exempel (för Maps för 2 variabler):

{\overline {X_{1}}}\ {\overline {X_{2}}}

{\overline {X_{1}}}\ X_{2}

X_{1}\ X_{2}\

X_{1}\ {\overline {X_{2))}

{\överlinje {X_{2))}

{\överlinje {X_{1))}

{X_{2}}\

{X_{1}}\

S_{1}\vee S_{2}=

S_{1}\vee S_{2}=

S_{1}\vee S_{2}=

S_{1}\vee S_{2}=

S_{1}\vee S_{2}=

S_{1}\vee S_{2}=

=X_{1}X_{2}\vee

=X_{1}{\overline {X_{2}}}\vee

=X_{2}\vee X_{1}

=X_{1}\vee {\overline {X_{2))}

={\överlinje {X_{1}}}\vee {\överlinje {X_{2}}}

=X_{2}\vee {\overline {X_{1}}}

\vee {\overline {X_{1}}}\ {\overline {X_{2}}}

\vee {\overline {X_{1}}}X_{2}

För CNF är allt sig likt, bara vi betraktar celler med nollor, kombinerar oföränderliga variabler inom samma region till disjunktioner (inversioner sätts ner över enhetsvariabler), och disjunktioner av regioner kombineras till en konjunktion. Detta avslutar minimeringen. Så för Karnot-kartan i fig. 1 kommer uttrycket i DNF-format att se ut så här:

$f(X_{1},X_{2},X_{3},X_{4})=S_{1}\vee S_{2}\vee S_{3}={\overline {X_{1 }}}\ {\overline {X_{4}}}\vee X_{1}\ X_{2}\ X_{4}\vee {\overline {X_{4}}}{\overline {X_{2} }}.$

I CNF-format:

$f(X_{1},X_{2},X_{3},X_{4})=S_{1}S_{2}S_{3}=(X_{1}\vee {\overline { X_{4}}})(X_{2}\vee {\overline {X_{4}}})({\overline {X_{1}}}\vee {\overline {X_{2}}}\vee X_{4}).$

Du kan också byta från DNF till CNF och tillbaka med De Morgans lagar .

Exempel

Exempel 1

Pojken Kolya har en mamma, pappa, farfar och mormor. Kolya kommer att gå en promenad på gatan om och bara om minst två släktingar tillåter honom.

För korthetens skull, låt oss beteckna Kolyas släktingar med bokstäver:
mamma - X1
pappa - X2
farfar - X3
farmor - X4

Låt oss komma överens om att beteckna anhörigas samtycke som ett, oenighet som noll. Möjligheten att gå på promenad kommer att betecknas med bokstaven f, Kolya går en promenad - f = 1, Kolya går inte på promenad - f = 0.
Låt oss göra en sanningstabell:

Låt oss rita om sanningstabellen i tvådimensionell form:

Låt oss ordna om raderna och kolumnerna i den i enlighet med den grå koden (de sista och näst sista kolumnerna byts). Mottaget Karnot-kort:

Låt oss fylla den med värden från sanningstabellen (den första raden motsvarar inte sanningstabellen, eftersom f=0 och det inte finns någon tillåtelse att gå):

Vi minimerar i enlighet med reglerna:

Alla områden innehåller 2^n celler;
Eftersom Karnaugh-kartan består av fyra variabler, är axlarna placerade på kartans gränser och de är inte synliga (för mer detaljer, se exemplet på en karta i 5 variabler );
Eftersom Karnaugh-kartan består av fyra variabler, ligger alla områden symmetriskt till axlarna intill varandra (för mer information, se exemplet med Maps i 5 variabler );
Regionerna S3, S4, S5, S6 är så stora som möjligt;
Alla områden skär varandra (valfritt);
I det här fallet finns det bara ett rationellt alternativ.

$f(X1,X2,X3,X4)=S1\vee S2\vee S3\vee S4\vee S5\vee S6=$

$=X3X4\ \vee \ X1X2\ \vee \ X2X4\ \vee \ X1X4\ \vee \ X1X3\ \vee \ X2X3$

Nu, enligt den erhållna minsta DNF, är det möjligt att konstruera en logisk krets :

På grund av avsaknaden av ett OR-element med sex ingångar som implementerar disjunktionsfunktionen, var det nödvändigt att kaskadbilda fem- och tvåingångarselement (D7, D8).

Låt oss göra min. CNF:

$f(X1,X2,X3,X4)=(S1)\ (S2)\ (S3)\ (S4)=$

$=(X1\vee X2\vee X3)(X1\vee X3\vee X4)(X2\vee X3\vee X4)(X1\vee X2\vee X4)$

Se även

DNF
KNF
SDNF
SKNF
Minimering av booleska funktioner med Quines metod
Minimering av kombinationskretsar
sv: Espresso heuristisk logikminimering
Quine-McCluskey-metoden

Anteckningar

↑ Givone D. Rosser R. (1983), sid. 67-76.
↑ Veitch E. W. (maj 1952).
↑ Karnaugh M. (november 1953).
↑ 1 2 Givone D. Rosser R. (1983), sid. 69.
↑ 1 2 Givone D. Rosser R. (1983), sid. 75.

Källor

Veitch EW (maj 1952) En diagrammetod för att förenkla sanningsfunktioner. Proceedings, Association for Computing Machinery, Pittsburgh, Pa., 2 maj 3, 1952, s. 127-133. DOI:10.1145/609784.609801.
Karnaugh M. (november 1953) Kartmetoden för syntes av kombinerade logiska kretsar . Transaktioner från American Institute of Electrical Engineers, del I: Kommunikation och elektronik. 72(5): 593-599. DOI:10.1109/TCE.1953.6371932.
Tokheim R. Grunderna i digital elektronik: Per. från engelska. — M.: Mir, 1988. — 392 s., ill. (Kapitel 4, sid 88-95)
Givone D. Rosser R. Mikroprocessorer och mikrodatorer: Introduktionskurs: Per. från engelska. - M .: Mir, 1983. - 464 s., ill.

Länkar

Använda Karnaugh-kartor i praktiska tillämpningar , Utveckling av ett trafikljuskontrollsystem.

programvara

Karnaugh Minimizer , Kommersiell Windows-applikation (fungerar ofta inte korrekt, till exempel för denna ekvation: 0,1,5,8,10,13).
Logic Minimizer , kommersiell Windows-applikation, men kan göras för att köras på Unix.
Kmap minimizer Onlineapplikation (Flash).
GKMap , gratis programvara på SourceForge.net .
Karnaugh Map Minimizer , gratis (men ofta buggig) programvara på SourceForge.net .
Gorgeous Karnaugh , Gorgeous Karnaughs kommersiella Karnaugh-minimeringsprogram.

Video

Carnot-kort. Föreläsning . Youtube.