Tangent vektor

En tangentvektor är ett element av tangentrymd , till exempel ett element i en tangentlinje till en kurva, ett tangentplan till en yta, och så vidare.

Tangent vektor till kurva

Låt funktionen definieras i något område av punkten och vara differentierbar i den: . $f\kolon U(x_{0})\subset {\mathbb {R}}\to {\mathbb {R}}$ $x_{0}\in {\mathbb {R}}$ $f\in {\mathcal {D}}(x_{0})$

En tangentvektor till en graf för en funktion i en punkt är en vektor med komponenter $f$ $x_{0}$

${\vec {e}}={\frac {1}{\sqrt {1+f'(x_{0})^{2))))\cdot {\vec {e}}_{x }+{\frac {f'(x_{0})}{\sqrt {1+f'(x_{0})^{2))))\cdot {\vec {e}}_{y}$ .
Om en funktion har en oändlig derivata i en punkt, då är tangentvektorn $f$ $x_{0}$ $f'(x_{0})=\pm \infty ,$ ${\vec {e}}={\vec {e}}_{y}$ .

Allmän definition

En tangentvektor till ett jämnt grenrör vid en punkt är en operator som tilldelar ett nummer till varje jämn funktion och har följande egenskaper: $M$ $p\in M$ $X$ $f\colon M\to \mathbb {R}$ $xf$

additivitet: $X(f+h)=Xf+Xh,$
Leibniz regel : $X(fh)=(Xf)\cdot h(p)+f(p)\cdot (Xh).$

Uppsättningen av alla sådana operatorer vid en punkt har den naturliga strukturen av ett linjärt utrymme, nämligen: $sid$

(X+Y)f=Xf+Yf;

(k\cdot X)f=k\cdot (Xf),\ \forall k\in \mathbb {R}

Samlingen av alla tangentvektorer i en punkt bildar ett vektorrum , som kallas tangentutrymmet i en punkt . Samlingen av alla tangentvektorer vid alla punkter i grenröret bildar en vektorbunt , som kallas en tangentbunt . $sid$ $sid$

Tangent vektor som vägekvivalensklass

Begreppet tangentvektor till ett grenrör vid en punkt generaliserar begreppet tangentvektor till en jämn bana i rymden R n . Låt en jämn väg ges i R n : ${\displaystyle \mathbf {f} \colon [0,1]\rightarrow \mathbb {R} ^{n))$

\mathbf {f} (t)=f_{1}(t)\mathbf {e} _{1}+f_{2}(t)\mathbf {e} _{2}+\dots +f_ {n}(t)\mathbf {e} _{n}

Sedan finns det en enda rätlinjig och enhetlig bana som berör den vid tidpunkten t 0 : $\mathbf {l} (t)$

\mathbf {l} (t)=\mathbf {f} (t_{0})+(t-t_{0})\left({\partial f_{1} \over \partial t}(t_ {0})\mathbf {e} _{1}+{\partial f_{2} \over \partial t}(t_{0})\mathbf {e} _{2}+\dots +{\partial f_ {n} \over \partial t}(t_{0})\mathbf {e} _{n}\right)

Att röra två vägar och betyder att ; tangensrelationen för banor vid en punkt är en ekvivalensrelation . Tangentvektorn i punkten x 0 kan definieras som ekvivalensklassen för alla jämna banor som passerar genom punkten x 0 samtidigt och berör varandra vid den punkten. $\mathbf {f} _{1}(t)$ $\mathbf {f} _{2}(t)$ $\mathbf {f} _{1}(t)-\mathbf {f} _{2}(t)=o(t-t_{0})$

Tangent vektor till en undergren

Tangentvektorn vid en punkt i ett jämnt delrör av det euklidiska rymden är hastighetsvektorn vid en punkt av någon kurva i . $sid$ $M$ $sid$ $M$

Med andra ord, tangentvektorn vid en punkt i en delgren som är lokalt definierad parametriskt $sid$

{\displaystyle r\colon \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n))

med ,

p=r(0)\

är en godtycklig linjär kombination av partiella derivator . ${\frac {\partial r}{\partial x_{i))}(0)$

Anteckningar

För denna definition av en tangentvektor är det tillräckligt att undergrenröret är av jämnhetsklass . $C^1$
Enligt Whitneys inbäddningsteorem tillåter varje slät n - dimensionell grenrör en inbäddning i . Därför, utan att bryta rigoriteten, kan denna definition användas för alla jämna grenrör. Naturligtvis kommer det i detta fall att vara nödvändigt att bevisa definitionens oberoende från inbäddningen. $\mathbb{R} ^{{2n}}$

Litteratur

Dubrovin B. A., Novikov S. P., Fomenko A. T. Modern geometri. Metoder och tillämpningar. - 2e. — M .: Nauka , 1986. — 760 sid.
Zorich V.A. Mathematical analysis, volym 1,2. — M .: Nauka , 1981.
Cartan A. Differentialkalkyl. differentiella former. — M .: Mir , 1971.