Pontryagin klass
Pontryagin-klassen är en karakteristisk klass definierad för riktiga vektorbuntar . Konceptet introducerades 1947 av den sovjetiske matematikern L. S. Pontryagin .
För en vektorbunt med en bas betecknas Pontryagin-klasserna med symbolen och antas vara lika med
![\xi](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0b461aaf61091abd5d2c808931c48b8ff9647db)
![B](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a)
![{\displaystyle p_{i}(\xi )\in H^{4i}(B)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86daa5c1c27e97822f55afc03b400b0faa49d5ab)
![{\displaystyle p_{i}(\xi )=(-1)^{i}c_{2i}(\xi \otimes \mathbb {C} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdbd7022782efe3efcb2d185f1729abf4a31dbba)
,
var är komplexiseringen av bunten , och a är Chern-klasserna .
![{\displaystyle \xi \otimes \mathbb {C} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/815668bf19857f0ca128a9470709bea4718c65bc)
![\xi](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0b461aaf61091abd5d2c808931c48b8ff9647db)
![c_{i}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01acb7953ba52c2aa44264b5d0f8fd223aa178a2)
En komplett Pontryagin-klass är en inhomogen karakteristisk klass
![{\displaystyle p(\xi )=1+p_{1}(\xi )+p_{2}(\xi )+\dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/817bd5bb5e49355d7696be6cc609cb74aecc9d22)
.
Om är ett jämnt grenrör och bunten inte är explicit specificerad, antas det att det finns en tangentbunt .
![B](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a)
![\xi](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0b461aaf61091abd5d2c808931c48b8ff9647db)
![B](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a)
Egenskaper
- Hirzebruch L-klassen och -klassen uttrycks i termer av Pontryagin-klasserna.
![{\hat {A}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f595a6c73d1183d6a1b2ac21fe47ac28c1483821)
- Om , är två reella vektorbuntar över en gemensam bas, så har kohomologiklassen ordning högst två.
![\xi](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0b461aaf61091abd5d2c808931c48b8ff9647db)
![\eta](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4d701857cf5fbec133eebaf94deadf722537f64)
![{\displaystyle p(\xi \oplus \eta )-p(\xi )p(\eta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42a935ad8e67ed106dbf4b2c583780c72369c0ab)
- I synnerhet, om koefficientringen innehåller 1/2, så gäller likheten .
![{\displaystyle p(\xi \oplus \eta )=p(\xi )p(\eta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f0a85ee1206e950bd6913d4677bf245ee840b11)
- Pontryagin-klasser med rationella koefficienter för två homeomorfa varianter sammanfaller (sats av S. P. Novikov )
- Det finns ett exempel som visar att Pontryagins heltalsklasser inte är topologiska invarianter.
- För en 2k -dimensionell bunt , där betecknar Euler-klassen .
![\xi](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0b461aaf61091abd5d2c808931c48b8ff9647db)
![{\displaystyle p_{k}(\xi )=e(\xi )^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3fe18167a8775581c5b94815f6842f9eb299b1b)
![{\displaystyle e(\xi )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4eb5b3ea959fd349c14d22bf15d2eed697110827)
Litteratur
- Pontryagin L. S. "Mat. Sb., 1947, vol. 21, sid. 233-84;
- Novikov S. P. "Rapport. USSR:s vetenskapsakademi, 1965, v. 163, sid. 298-300;
- Milnor J. , Stashef J. Karakteristiska klasser = Karakteristiska klasser. — M .: Mir , 1979. — 371 sid. - 6500 exemplar.