Pontryagin klass

Pontryagin-klassen är en karakteristisk klass definierad för riktiga vektorbuntar . Konceptet introducerades 1947 av den sovjetiske matematikern L. S. Pontryagin .

För en vektorbunt med en bas betecknas Pontryagin-klasserna med symbolen och antas vara lika med $\xi$ $B$ $p_{i}(\xi )\in H^{4i}(B)$

p_{i}(\xi )=(-1)^{i}c_{2i}(\xi \otimes \mathbb {C} )

var är komplexiseringen av bunten , och a är Chern-klasserna . $\xi \otimes \mathbb {C}$ $\xi$ $c_{i}$

En komplett Pontryagin-klass är en inhomogen karakteristisk klass

p(\xi )=1+p_{1}(\xi )+p_{2}(\xi )+\dots

Om är ett jämnt grenrör och bunten inte är explicit specificerad, antas det att det finns en tangentbunt . $B$ $\xi$ $\xi$ $B$

Egenskaper

Hirzebruch L-klassen och -klassen uttrycks i termer av Pontryagin-klasserna. ${\hat {A}}$
Om , är två reella vektorbuntar över en gemensam bas, så har kohomologiklassen ordning högst två. $\xi$ $\eta$
$p(\xi \oplus \eta )-p(\xi )p(\eta )$
- I synnerhet, om koefficientringen innehåller 1/2, så gäller likheten .
  $p(\xi \oplus \eta )=p(\xi )p(\eta )$
Pontryagin-klasser med rationella koefficienter för två homeomorfa varianter sammanfaller (sats av S. P. Novikov )
- Det finns ett exempel som visar att Pontryagins heltalsklasser inte är topologiska invarianter.
För en 2k -dimensionell bunt , där betecknar Euler-klassen . $\xi$
$p_{k}(\xi )=e(\xi )^{2},$
$e(\xi )$

Pontryagin L. S. "Mat. Sb., 1947, vol. 21, sid. 233-84;
Novikov S. P. "Rapport. USSR:s vetenskapsakademi, 1965, v. 163, sid. 298-300;
Milnor J. , Stashef J. Karakteristiska klasser = Karakteristiska klasser. — M .: Mir , 1979. — 371 sid. - 6500 exemplar.