Zhen klass

Chern-klasserna (eller Chern-klassen ) är de karakteristiska klasserna associerade med komplexa vektorbuntar .

Zhen-klasser introducerades av Shiing-Shen Zhen [1] .

Geometriskt tillvägagångssätt

Grundidé och bakgrund

Zhen-klasserna är karakteristiska klasser . De är topologiska invarianter associerade med vektorbuntar på släta grenrör. Frågan om två till synes olika vektorbuntar är samma bunt kan vara ett ganska svårt problem. Chern-klasserna ger ett enkelt test — om Chern-klasserna för ett par vektorbuntar inte överensstämmer, är vektorbuntarna olika. Det omvända är dock inte sant.

Inom topologi, differentialgeometri och algebraisk geometri är det ofta viktigt att räkna hur många linjärt oberoende sektioner en vektorbunt har. Chern-klasserna ger en del information om detta genom till exempel Riemann-Roch-satsen och Atiyah-Singer-indexsatsen .

Zhens klasser är också praktiska för praktiska beräkningar. I differentialgeometri (och vissa typer av algebraisk geometri) kan Chern-klasserna uttryckas som polynom i koefficienterna för krökningsformen .

Konstruktion av Zhen-klasser

Det finns olika tillvägagångssätt för klasser, var och en fokuserar på något olika egenskaper hos Chern-klasserna.

Det ursprungliga tillvägagångssättet till Chern-klasser var ett tillvägagångssätt från sidan av algebraisk topologi - Chern-klasser uppstår genom teorin om homotopi , som gör att man kan konstruera en karta över grenröret som är associerat med bunten V in i klassificeringsutrymmet (en oändlig Grassmannian i detta fall). För varje vektorbunt V över ett grenrör M finns det en mappning f från M till ett klassificeringsutrymme så att paketet V är lika med den omvända bilden (med avseende på f ) av den universella bunten över klassificeringsutrymmet, och Chern klasser av bunten V kan därför definieras som de omvända bilderna av Chern-klasserna i universalbunten. Dessa universella Chern-klasser kan i sin tur skrivas explicit i termer av Schubert-cykler .

Det kan visas att två avbildningar f och g från M till ett klassificeringsutrymme vars inversa bilder är samma bunt V måste vara homotopiska. Således måste de omvända bilderna med avseende på f och g för alla universella Chern-klasser i kohomologiklassen M vara samma klass. Detta visar att Chern-klasserna av V är väldefinierade.

Zhengs tillvägagångssätt bygger på differentialgeometri genom användningen av krökning som beskrivs i den här artikeln. Zhen visade att den tidigare definitionen i själva verket var likvärdig med hans definition. Den resulterande teorin är känd som Chen-Weil-teorin .

Det finns också Alexander Grothendiecks tillvägagångssätt , som visade att det räcker axiomatiskt att endast definiera klasserna av linjebuntar.

Chern-klasserna uppstår naturligt i algebraisk geometri . Generaliserade Chern-klasser i algebraisk geometri kan definieras för vektorbuntar (eller mer exakt, lokalt fria skivor ) över alla icke-singulara grenrör. Zhens algebraisk-geometriska klasser sätter inga restriktioner på huvudfältet. I synnerhet behöver vektorbuntar inte vara komplexa.

Oavsett det ursprungliga paradigmet, gäller den intuitiva betydelsen av Chern-klassen "nollorna" av sektioner av en vektorbunt. Till exempel en sats som säger att det är omöjligt att kamma en boll med hår ( igelkottskamningssatsen ). Även om frågan strängt taget hänvisar till en riktig vektorbunt ("håret" på bollen är en kopia av den riktiga linjen), finns det generaliseringar där "håret" är komplext (se exemplet på den komplexa igelkottskammningen sats nedan), eller för endimensionella projektiva utrymmen över många andra fält.

Chern-klassen av linjebuntar

(Låt X vara ett topologiskt utrymme av CW-komplex homotopityp .)

Ett viktigt specialfall inträffar när V är en linjebunt . Då är den enda icke-triviala Chern-klassen den första Chern-klassen, som är en del av den andra kohomologigruppen i rymden X. Eftersom den är den högsta klassen av Zhen, är den lika med Euler-klassen i bunten.

Den första Chern-klassen visar sig vara en fullständig invariant , enligt vilken komplexa linjebuntar i den topologiska kategorin klassificeras. Det vill säga, det finns en bijektion mellan klasserna av isomorfa linjebuntar över X och elementen i H 2 ( X ; Z ) som relaterar till linjebuntens första Chern-klass. Dessutom är denna bijektion en grupphomomorfism (det vill säga en isomorfism):

c_{1}(L\otimes L')=c_{1}(L)+c_{1}(L')

;

tensorprodukten av komplexa linjebuntar motsvarar addition i den andra kohomologigruppen [2] [3] .

I algebraisk geometri är denna klassificering av (klasser av isomorfa) komplexa linjebuntar av den första Chern-klassen en grov approximation av klassificeringen av (klasser av isomorfa) holomorfa linjebuntar efter klasser av linjärt ekvivalenta divisorer .

För komplexa vektorbuntar med dimension större än en är Chern-klasserna inte fullständiga invarianter.

Byggnader

Med hjälp av Chen-Weyl-teorin

Givet ett komplext hermitiskt vektorknippe V med komplex rang n över ett differentierbart grenrör M , ges en representant för varje Chern-klass (kallad Chern-form ) c k ( V ) i bunt V av koefficienterna för det karakteristiska polynomet av buntens krökningsform V . $\Omega$

\det \left({\frac {it\Omega }{2\pi }}+E\right)=\sum _{k}c_{k}(V)t^{k}

Determinanten tas över en ring av n × n matriser vars element är polynom i t med koefficienter från den kommutativa algebra för jämna komplexa differentialformer på M . Krökningsformen för bunten V ges av $\Omega$

\Omega =d\omega +{\tfrac {1}{2}}[\omega ,\omega ]

var är kopplingsformen och d är den yttre differentialen eller samma uttryck som är måttformen för måttgruppen för bunten V . Skalären t används endast som en okänd variabel för att generera summan från determinanten, och E betyder en n × n identitetsmatris . $\omega$ $\omega$

Orden som detta uttryck ger en representant för Zhen-klassen betyder att 'klassen' här definieras upp till den exakta differentialformen . Det vill säga, Chern- klasserna är kohomologiklasser i betydelsen de Rham-kohomologi . Det kan visas att kohomologiklassen av Chern-former inte beror på valet av samband i V .

Med hjälp av matrisidentiteten tr(ln( X ))=ln(det( X )) och Maclaurin-serien för ln( X + I ), expanderar detta uttryck för Chern-formen till

\sum _{k}c_{k}(V)t^{k}=\left[I+i{\frac {\mathrm {tr} (\Omega )}{2\pi }}t+{ \frac {\mathrm {tr} (\Omega ^{2})-\mathrm {tr} (\Omega )^{2}}{8\pi ^{2}}}t^{2}+i{\ frac {-2\mathrm {tr} (\Omega ^{3})+3\mathrm {tr} (\Omega ^{2})\mathrm {tr} (\Omega )-\mathrm {tr} (\Omega )^{3}}{48\pi ^{3}}}t^{3}+\cdots \right].

Med hjälp av Euler-klassen

Man kan definiera Chern-klassen i termer av Euler-klassen. Detta tillvägagångssätt används i boken av Milnor och Stashef [4] och betonar rollen av orientering av vektorbunten .

Huvudobservationen är att den komplexa vektorbunten har en kanonisk orientering på grund av att den är sammankopplad. Därför kan man definiera den högsta Chern-klassen i en bunt som dess Euler-klass och arbeta med de återstående Chern-klasserna genom induktion. $GL_{n}(\mathbb {C} )$

Den exakta konstruktionen är som följer. Tanken är att ändra grunden för att få en bunt av en lägre rang. Låta vara en komplex vektorbunt över ett parakompakt utrymme B . Med tanke på B som en nollsektion inbäddad i E ställer vi in och definierar en ny vektorbunt: $\pi :E\rightarrow B$ $B'=EB$

E'\to B',

vars fiber är en faktor av fibern F i bunten E längs linjen som spänns av vektorn v i F (en punkt i B' bestäms av fibern F i bunten E och en vektor som inte är noll från F .) [5] . Då har E' rang ett mindre än rangen E . Från Gisin-sekvensen för paketet : $\pi |_{B'}:B'\to B$

\cdots \to \operatörsnamn {H} ^{k}(B;\mathbb {Z} ){\overset {\pi |_{B'}^{*}}{\to }}\operatörsnamn { H} ^{k}(B';\mathbb {Z} )\to \cdots ,

vi ser vilken som är en isomorfism för k < 2 n − 1. Låt $\pi |_{B'}^{*}$

c_{k}(E)={\begin{cases}{\pi |_{B'}^{*}}^{-1}c_{k}(E'),&k<n\\ e(E_{\mathbb {R} }),&k=n\\0,&k>n.\\\end{cases}}

Lite mer arbete krävs för att verifiera att Zhen-klassens axiom håller för en sådan definition.

Exempel

Det komplexa tangentknippet av Riemann-sfären

Låt CP 1 vara Riemann-sfären , ett 1-dimensionellt komplext projektivt utrymme . Antag att z är en holomorf lokal koordinat på Riemanns sfär. Låt V = T CP 1 vara en penna av komplexa tangentvektorer av formen a ∂/∂ z i varje punkt, där a är ett komplext tal. Vi kommer att bevisa en komplex version av igelkottskamningssatsen : V har inga icke-försvinnande sektioner.

För att göra detta behöver vi följande faktum: den första Chern-klassen i en trivial bunt är lika med noll, det vill säga,

c_{1}({\mathbf {C} \mathbf {P} }^{1}\times {\mathbf {C} })=0.

Detta följer av att en trivial bunt alltid har en platt anslutning.

Låt oss visa det

c_{1}(V)\not =0.

Tänk på Kähler-metriken

h={\frac {dzd{\bar {z}}}{(1+|z|^{2})^{2}}}.

Det kan visas att 2-kurvaturformen ges av

\Omega ={\frac {2dz\wedge d{\bar {z}}}{(1+|z|^{2})^{2}}}.

Dessutom, enligt definitionen av den första klassen av Zhen

c_{1}=\left[{\frac {i}{2\pi }}\mathrm {tr} \ \Omega \right].

Vi måste visa att denna kohomologiklass inte är noll. För att göra detta räcker det med att beräkna integralen över Riemann-sfären:

\int c_{1}={\frac {i}{\pi }}\int {\frac {dz\wedge d{\bar {z}}}{(1+|z|^{2} )^{2}}}=2

efter övergången till det polära koordinatsystemet . Enligt Stokes teorem måste integralen av den exakta formen vara lika med 0, så kohomologiklassen är icke-noll.

Detta bevisar att TCP1 inte är en trivial vektorbunt.

Komplext projektivt utrymme

Det finns en exakt sekvens av buntar [6] :

0\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n}}\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {C} \mathbf {P } ^{n))(1)^{\oplus (n+1)}\to T\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n}\to 0,

där är en strukturell bunt (dvs en trivial linjebunt), är en vridande Serre bunt (dvs en bunt hyperplanes ), och den sista termen som inte är noll är en tangent bunt /bunt. ${\mathcal {O}}_{\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n}}$ ${\mathcal {O}}_{\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n}}(1)$

Det finns två sätt att få sekvensen ovan:

[7] Låt z 0 , … z n vara koordinater i,och. Då har vi: $\mathbb {C} ^{n+1}$ ${\displaystyle \pi :\mathbb {C} ^{n+1}-0\to \mathbb {C} \mathbf {P} ^{n))$ ${\displaystyle U=\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n}-\{z_{0}=0\))$ $\pi ^{*}d(z_{i}/z_{0})={z_{0}dz_{i}-z_{i}dz_{0} \over z_{0}^{2} },\,i\geq 1.$
Med andra ord ingår cotangenskärven , som är en fri -modul med bas , i den exakta sekvensen $\Omega _{\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n}}|_{U}$ ${\mathcal {O}}_{U}$ $d(z_{i}/z_{0})$
$\textstyle \quad 0\to \Omega _{\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n}}|_{U}{\overset {dz_{i}\mapsto e_{i}}{ \to }}\oplus _{1}^{n+1}{\mathcal {O}}(-1)|_{U}{\overset {e_{i}\mapsto z_{i}}{\to }}{\mathcal {O}}_{U}\to 0,\,i\geq 0,$ var ligger grunden för mellantermen. Samma sekvens är då exakt för hela det projektiva rummet, och ovanstående sekvens är dubbel till den. $e_{i}$
Låt L vara en linje som går genom origo. Det är lätt att se att det komplexa tangentutrymmet till vid en punkt L är naturligt isomorft till uppsättningen linjära avbildningar från L till dess komplement. [8] Således kan tangentbunten identifieras med bunten av homomorfismer $\mathbb {C} ^{n+1}$ $\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n}$ ${\displaystyle T\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n))$ $\operatorname {Hom} ({\mathcal {O}}(-1),\eta )$ var är en vektorbunt sådan att . Detta innebär: $\eta$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(-1)\oplus \eta ={\mathcal {O}}^{\oplus (n+1)))$ $T\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n}\oplus {\mathcal {O}}=\operatörsnamn {Hom} ({\mathcal {O}}(-1),\eta )\ oplus \operatorname {Hom} ({\mathcal {O}}(-1),{\mathcal {O}}(-1))={\mathcal {O}}(1)^{\oplus (n+1 )}$ .

Med tanke på additiviteten hos hela Chern-klassen c = 1 + c 1 + c 2 + … (det vill säga Whitneys summaformler),

c(\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n}){\overset {\mathrm {def} }{=}}c(T\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n })=c({\mathcal {O}}_{\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n}}(1))^{n+1}=(1+a)^{n+1 }

där a är den kanoniska generatorn för kohomologigruppen . Det vill säga, taget med ett minustecken, värdet av den första Chern-klassen i den tautologiska linjebunten (Notera: när E * är dual av E .) I synnerhet för alla , $H^{2}(\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n},\mathbb {Z} )$ ${\mathcal {O}}_{\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n}}(-1)$ $c_{1}(E^{*})=-c_{1}(E)$ $k\geqslant 0$

c_{k}(\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n})={\binom {n+1}{k}}a^{k}.

Zhens polynom

Chern-polynomet är ett bekvämt sätt att arbeta med Chern-klasser och relaterade begrepp. Per definition, för en komplex vektorbunt E , ges Chern-polynomet c t för bunten E av:

c_{t}(E)=1+c_{1}(E)t+\cdots +c_{n}(E)t^{n}.

Detta är inte en ny invariant - det formella okända t reflekterar helt enkelt makten c k ( E ) [9] . I synnerhet definieras den helt av hela Chern-klassen i paketet E - . $c_{t}(E)$ $c(E)=1+c_{1}(E)+\cdots +c_{n}(E)$

Whitneys summaformel, ett av Chern-klassernas axiom (se nedan), säger att c t är additiv i betydelsen:

c_{t}(E\oplus E')=c_{t}(E)c_{t}(E').

Om nu är en direkt summa av (komplexa) linjebuntar, så innebär Whitneys summaformel: ${\displaystyle E=L_{1}\oplus \cdots \oplus L_{n))$

c_{t}(E)=(1+a_{1}(E)t)\cdots (1+a_{n}(E)t)

var är de första Chern-klasserna. Rötterna kallas Chern-rötter i bunten E och de bestämmer polynomets koefficienter. Det är, $a_{i}(E)=c_{1}(L_{i})$ $a_{i}(E)$

c_{k}(E)=\sigma _{k}(a_{1}(E),\ldots ,a_{n}(E))

var är elementära symmetriska polynom . Med andra ord, om vi betraktar a i som formella variabler, är c k "lika" . Det grundläggande faktumet om symmetriska polynom är att varje symmetriskt polynom i t.ex. t i är ett polynom i elementära symmetriska polynom i t i . Enligt splittringsprincipen eller från ringteorin, sönderfaller vilket Tjern-polynom som helst till linjära faktorer efter en ökning av kohomologiringen. Därför behöver E inte vara en direkt summa av linjebuntar. Slutsats ${\displaystyle \sigma _{k))$ ${\displaystyle \sigma _{k))$ $c_{t}(E)$

"Man kan beräkna vilket symmetriskt polynom som helst f i ett komplext vektorpaket E genom att skriva f som ett polynom i och sedan ersätta det med ."

{\displaystyle \sigma _{k))

{\displaystyle \sigma _{k))

c_{k}(E)

Exempel : Vi har polynom s k

t_{1}^{k}+\cdots +t_{n}^{k}=s_{k}(\sigma _{1}(t_{1},\ldots ,t_{n}), \ldots ,\sigma _{k}(t_{1},\ldots ,t_{n}))

med och så vidare (se Newtons identiteter ). Belopp ${\displaystyle s_{1}=\sigma _{1},s_{2}=\sigma _{1}^{2}-2\sigma _{2))$

\operatorname {ch} (E)=e^{a_{1}(E)}+\cdots +e^{a_{n}(E)}=\summa s_{k}(c_{1} (E),\ldots ,c_{n}(E))/k!

kallas Chern-karaktären i bunten E vars första termer är: (vi utelämnar E i notationen )

\operatörsnamn {ch} (E)=\operatörsnamn {rk} +c_{1}+{\frac {1}{2}}(c_{1}^{2}-2c_{2})+{ \frac {1}{6}}(c_{1}^{3}-3c_{1}c_{2}+3c_{3})+\cdots .

Exempel : Todd-klassen i paketet E ges av:

{\begin{aligned}\operatörsnamn {td} (E)&=\prod _{1}^{n}{a_{i} \over 1-e^{-a_{i))}=1 +{1 \over 2}c_{1}+{1 \over 12}(c_{1}^{2}+c_{2})+\cdots .\end{aligned}}

Notera : Observationen att Chern-klassen i huvudsak är ett elementärt symmetriskt polynom kan användas för att "definiera" Chern-klasserna. Låt G n vara en oändlig Grassmannan n -dimensionella komplexa vektorrum. Det är ett klassificeringsutrymme i den meningen att givet en komplex vektorbunt E av rang n över X , det finns en kontinuerlig mappning

f_{E}:X\to G_{n},

unik upp till homotopi. Borels sats säger att kohomologiringen av Grassmannan G n är exakt ringen av symmetriska polynom, som är polynom i elementära symmetriska polynom . Således, för förbilden f E ${\displaystyle \sigma _{k))$

f_{E}^{*}:\mathbb {Z} [\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n}]\to H^{*}(X,\mathbb {Z} ).

Var

c_{k}(E)=f_{E}^{*}(\sigma _{k}).

Anmärkning : Varje karakteristisk klass är ett polynom i Chern-klasserna av följande skäl. Låt vara en kontravariant funktion som associerar med ett CW-komplex X uppsättningen klasser av isomorfa komplexa vektorbuntar av rang n över X . Per definition är en karakteristisk klass en naturlig omvandling från till en kohomologifunktion . Karakteristiska klasser bildar en ring på grund av kohomologiringens ringstruktur. Yonedas lemma säger att ringen av karakteristiska klasser är exakt kohomologiringen av Grassmannian G n : $\operatorname {Vect} _{n}^{\mathbb {C} }$ $\operatorname {Vect} _{n}^{\mathbb {C} }=[-,G_{n}]$ $H^{*}(-,\mathbb {Z} ).$

\operatorname {Nat} ([-,G_{n}],H^{*}(-,\mathbb {Z} ))=H^{*}(G_{n},\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} [\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n}].

Egenskaper för Zhens klasser

Givet ett komplext vektorknippe E över ett topologiskt utrymme X , är Chern-klasserna i bunt E en sekvens av kohomologielement i utrymmet X . den k :te Chern-klassen i bunten E , vanligtvis betecknad med c k ( V ), är ett element

H2k ( X ; Z ) , _

kohomologi av rymden X med heltalskoefficienter . Man kan också definiera en komplett Zhen-klass

c(E)=c_{0}(E)+c_{1}(E)+c_{2}(E)+\cdots .

Eftersom värdena är i heltalskohomologigrupper snarare än kohomologi med verkliga koefficienter, är dessa Chern-klasser något tydligare än de i det Riemannska exemplet.

Klassisk axiomatisk definition

Zhen-klasserna uppfyller följande fyra axiom:

Axiom 1. för alla buntar E . $c_{0}(E)=1$

Axiom 2. Naturlighet: If är kontinuerlig och f*E är den inducerade vektorbunten av bunten E , då . $f:Y\to X$ $c_{k}(f^{*}E)=f^{*}c_{k}(E)$

Axiom 3. Whitney- summans formel : Om är en annan komplex vektorbunt, så ges Chern-klasserna för den direkta summan av $F\to X$ $E\oplus F$

c(E\oplus F)=c(E)\smile c(F);

det är,

c_{k}(E\oplus F)=\sum _{i=0}^{k}c_{i}(E)\smile c_{ki}(F).

Axiom 4. Normalisering: Den fullständiga Chern-klassen för en tautologisk linjebunt över CP k är lika med 1 − H , där H är Poincaré-dualen av hyperplanet . ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{k-1}\subseteq \mathbf {CP} ^{k))$

Alexander Grothendiecks axiomatiska tillvägagångssätt

Alternativt ersatte Grothendieck [10] dessa axiom med något färre axiom:

Naturlighet: (Samma som ovan)
Additivitet: Om är en exakt sekvens av vektorbuntar, då . $\ 0\to E'\to E\to E''\to 0$ $c(E)=c(E')\smile c(E'')$
Normalisering: Om E är en linjebunt , då , var är Euler-klassen för den underliggande reella vektorbunten. $c(E)=1+e(E_{\mathbf {R} })$ $e(E_{\mathbf {R} })$

Han visade, med hjälp av Leray-Hirsch-satsen , att den fullständiga Chern-klassen av ett komplext vektorknippe av ändlig rang kan definieras i termer av den första Chern-klassen av en tautologiskt definierad linjebunt.

Nämligen genom att introducera projektiviseringen P ( E ) av en komplex vektorbunt av rang n som en bunt på B vars fiber vid en godtycklig punkt är det projektiva utrymmet för fibern Eb . Det totala utrymmet för denna bunt P ( E ) är utrustad med dess tautologiska komplexa linjebunt, som vi betecknar med , och den första Chern-klassen $E\rightarrow B$ $b\i B$ $\tau$

c_{1}(\tau )=:-a

är begränsad på varje lager av P ( Eb ) till minus-teckenklassen (Poincaré dual) av hyperplanet, vilket genererar lagrets kohomologi.

Klasser

1,a,a^{2},\ldots,a^{n-1}\in H^{*}(\mathbf {P} (E))

bildar alltså en familj av kohomologiklasser som är begränsade till lagrets kohomologibas. Leray-Hirsch-satsen säger att vilken klass som helst i H* ( P ( E )) kan skrivas unikt som en linjär kombination av 1, a , a 2 , …, a n −1 med klasser i basen som koefficienter .

I synnerhet kan man definiera Chern-klasserna i bunt E i betydelsen Grothendieck, som betecknas genom att sönderdela klassen på följande sätt: $c_{1}(E),\ldots c_{n}(E)$ ${\displaystyle -a^{n))$

-a^{n}=c_{1}(E)\cdot a^{n-1}+\cdots +c_{n-1}(E)\cdot a+c_{n}(E) .

Du kan kontrollera att denna alternativa definition är densamma som alla andra definitioner.

Zhengs seniorklass

Faktum är att dessa egenskaper unikt definierar Chern-klasserna. De resulterar bland annat:

Om n är den komplexa rangordningen av V , då för alla k > n . Således rasar hela Zhen-klassen. $c_{k}(V)=0$
Den högsta Chern-klassen i ett knippe V ( , där n är rangen för V ) är alltid lika med Euler-klassen för det underliggande reella vektorknippet. $c_{n}(V)$

Chern-klasser i algebraisk geometri

Axiomatisk beskrivning

Det finns en annan konstruktion av Chern-klasserna som tar värden i den algebro-geometriska analogen av kohomologiringen , Zhou-ringen . Det kan visas att det finns en unik teori om Chern-klasser så att det för ett givet algebraiskt vektorknippe över ett kvasiprojektivt grenrör existerar en sekvens av klasser så att $E\to X$ $c_{i}(E)\in A^{i}(X)$

$c_{0}(E)=1$
För en vändbar stråle , ${\mathcal {O}}_{X}(D)$ $c_{1}({\mathcal {O}}_{X}(D))=[D]$
Givet en exakt sekvens av vektorbuntar , gäller Whitneys summaformel: $0\to E'\to E\to E''\to 0,$ $c(E)=c(E')c(E'')$
$c_{i}(E)=0$ för $i>{\text{rank}}(E)$
Kartläggningen utökas till en ringmorfism $E\mapsto c(E)$ $c:K_{0}(X)\to A^{\bullet }(X)$

Abstrakta beräkningar med formella egenskaper

Direktsummor av radbuntar

Med hjälp av dessa relationer kan vi utföra många beräkningar för vektorbuntar. Observera först att om vi har linjebuntar kan vi bilda en kort exakt sekvens av vektorbuntar ${\mathcal {L}},{\mathcal {L}}'$

0\to {\mathcal {L}}\to {\mathcal {L}}\oplus {\mathcal {L}}'\to {\mathcal {L}}'\to 0

Med hjälp av egenskaperna och , får vi $ett$ $2$

{\begin{aligned}c({\mathcal {L}}\oplus {\mathcal {L}}')&=c({\mathcal {L}})c({\mathcal {L}} ')\\&=(1+c_{1}({\mathcal {L))))(1+c_{1}({\mathcal {L))'))\\&=1+c_{1 }({\mathcal {L}})+c_{1}({\mathcal {L}}')+c_{1}({\mathcal {L}})c_{1}({\mathcal {L} }')\end{aligned}}

Genom induktion får vi

c(\bigoplus _{i=1}^{n}{\mathcal {L}}_{i})=c({\mathcal {L}}_{1})\cdots c({\ mathcal {L}}_{n})

Buntar dubbla till radbuntar

Eftersom linjebuntar på en jämn projektiv varietet definieras av divisorklassen , och dubbellinjebunten definieras av den negativa divisorklassen , får vi $X$ $[D]$ $-[D]$

c_{1}({\mathcal {L}})=-c_{1}({\mathcal {L}}^{*})

Tangent bunt av ett projektivt utrymme

Ovanstående kan tillämpas på Euler-sekvensen för det projektiva rummet

0\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}(1)^ {\oplus (n+1)}\to {\mathcal {T}}_{\mathbb {P} ^{n}}\to 0

att räkna ut

{\begin{aligned}c({\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n)))c({\mathcal {T}}_{\mathbb {P} ^{n }})&=c({\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}(1)^{\oplus (n+1)})\\c({\mathcal {T} }_{\mathbb {P} ^{n)))&=(1+H)^{n+1}\\&={n+1 \choose 0}1+{n+1 \choose 1}H+ \cdots +{n+1 \choose n}H^{n}\end{aligned}}

var är klassen av hyperplan av grad 1. Observera också att i Zhou-ringen . $H$ $H^{n+1}=0$ ${\mathbb {P}}^{n}$

Normal sekvens

Beräkningen av de karakteristiska klasserna för ett projektivt utrymme är grunden för beräkningen av de karakteristiska klasserna för många andra utrymmen, eftersom det för varje jämn projektiv undervarietet finns en kort exakt sekvens $X\subset \mathbb {P} ^{n}$

0\to {\mathcal {T}}_{X}\to {\mathcal {T}}_{\mathbb {P} ^{n}}|_{X}\to {\mathcal {N } }}_{X/\mathbb {P} ^{n}}\to 0

Tredimensionell quintic

Tänk till exempel en tredimensionell quintic i . Sedan ges den normala bunten och vi har en kort exakt sekvens $\mathbb {P} ^{4}$ ${\mathcal {O}}_{X}(5)$

0\to {\mathcal {T}}_{X}\to {\mathcal {T}}_{\mathbb {P} ^{4}}|_{X}\to {\mathcal {O }}_{X}(5)\till 0

Låt beteckna klassen av hyperplan i . Sedan ger Whitneys summaformel oss $h$ $A^{\bullet }(X)$

{\begin{aligned}c({\mathcal {T}}_{X})c({\mathcal {O}}_{X}(5))&=(1+h)^{5 }\\&=1+5h+10h^{2}+10h^{3}\end{aligned}}

Eftersom Zhou-ringen av en hyperyta är svår att beräkna, kommer vi att betrakta denna sekvens som en sekvens av koherenta skivor i . Detta ger oss $\mathbb {P} ^{4}$

c({\mathcal {T}}_{X})={\frac {1+5h+10h^{2}+10h^{3}}{1+5h}}

Observera att det finns en formell kraftserie

{\begin{aligned}{\frac {1}{1+5h}}&=1-5h+25h^{2}-125h^{3}+\cdots \\&=1-5h+25h ^{2}-125h^{3}\end{aligned}}

Med hjälp av detta kan vi få

{\begin{aligned}c({\mathcal {T}}_{X})&=(1+5h+10h^{2}+10h^{3})(1-5h+25h^{ 2}-125h^{3})\\&=1+10h^{2}-40h^{3}\end{aligned}}

Med hjälp av Gauss-Bonnet-satsen kan vi integrera klassen för att beräkna Euler-karakteristiken. Detta kallas traditionellt Euler-klassen . Vi har $c_{3}({\mathcal {T}}_{X})$

\int _{[X]}c_{3}({\mathcal {T}}_{X})=\int _{[X]}-40h^{3}=-200

eftersom klassen kan representeras av fem poäng (av Bézouts sats . Eulerkarakteristiken kan sedan användas för att beräkna Betti-talen genom att använda definitionen av Eulerkarakteristiken och Lefschetz hyperplansektionssats . $h^3$ $X$

Cotangenssekvens

En annan användbar beräkning är cotangensbunten för ett projektivt utrymme. Vi kan dualisera Euler-sekvensen och få

0\to \Omega _{\mathbb {P} ^{n}}\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}(-1)^{\oplus n +1}\till {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}\till 0

Med Whitneys summaformel får vi

{\begin{aligned}c(\Omega _{\mathbb {P} ^{n)))&=c({\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}^ {\oplus (n+1)})c({\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n)))\\&=(1-H)^{n+1}\\& =1-{n+1 \choose 1}H+{n+1 \choose 2}H^{2}+\cdots +{n+1 \choose n}(-1)^{n}H^{n} \end{aligned}}

Relaterade begrepp

Zhens karaktär

Chern-klasserna kan användas för att konstruera en ringhomomorfism från den topologiska K-teorin för ett rum för att fullborda dess rationella kohomologi. För en linjebunt L ges Chern-tecknet av

\operatorname {ch} (L)=\exp(c_{1}(L)):=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {c_{1}(L)^ {m}}{m!}}.

Mer generellt, om är en direkt summa av linjebuntar med första Chern-klasser, definieras Chern-karaktären additivt ${\displaystyle V=L_{1}\oplus \cdots \oplus L_{n))$ $x_{i}=c_{1}(L_{i}),$

\operatorname {ch} (V)=e^{x_{1}}+\cdots +e^{x_{n}}:=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {1}{m!}}(x_{1}^{m}+\cdots +x_{n}^{m}).

Detta kan skrivas om enligt följande [11] :

\operatörsnamn {ch} (V)=\operatörsnamn {rk} (V)+c_{1}(V)+{\frac {1}{2}}(c_{1}(V)^{2 }-2c_{2}(V))+{\frac {1}{6}}(c_{1}(V)^{3}-3c_{1}(V)c_{2}(V)+3c_ {3}(V))+\cdots .

Detta sista uttryck, som stöds av uppdelningsprincipen , används som definition av ch(V) för godtyckliga vektorbuntar V .

Om en anslutning används för att definiera Chern-klasserna när basen är en mångfaldig (det vill säga Chern-Weil-teorin ), är det explicita uttrycket för Chern-karaktären

{\hbox{ch}}(V)=\left[{\hbox{tr}}\left(\exp \left({\frac {i\Omega }{2\pi }}\right)\ visst visst]

var är anslutningens krökning . $\Omega$

Chern-karaktären är användbar, bland annat, eftersom den tillåter en att beräkna Chern-klassen för en tensorprodukt. Mer exakt uppfyller den följande likheter:

{\hbox{ch}}(V\oplus W)={\hbox{ch}}(V)+{\hbox{ch}}(W)

{\hbox{ch}}(V\otimes W)={\hbox{ch}}(V){\hbox{ch}}(W).

Som nämnts ovan, med hjälp av Grothendiecks additivitetsaxiom för Chern-klasser, kan den första av dessa identiteter generaliseras till påståendet att ch är en homomorfism av abelska grupper från K-teorin K ( X ) till det rationella kohomologirummet X. Den andra identiteten fastställer det faktum att denna homomorfism bevarar produkten i K ( X ), och därför är ch en ringhomomorfism.

Chern-karaktären används i Hirzebruch-Riemann-Roch-satsen .

Zhen nummer

Om vi arbetar med ett orienterat grenrör med dimension 2n , så kan vilken produkt som helst av Chern-klasser av full grad 2n paras ihop med den grundläggande klassen (eller "manifold integrerad"), vilket ger ett heltal, Chern-numret för vektorbunten. Till exempel, om grenröret har dimension 6, finns det tre linjärt oberoende Chern-tal som ges av c 1 3 , c 1 c 2 och c 3 . I allmänhet, om grenröret har dimension 2n , är antalet oberoende Chern-tal lika med antalet partitioner av n .

Chern-talen för tangentbunten i ett komplext (eller nästan komplext) grenrör kallas grentalets Chern-tal och är viktiga invarianter.

Chern-klassen i generaliserade kohomologiteorier

Det finns en generalisering av teorin om Chern-klasser, där de vanliga kohomologierna ersätts med generaliserade . Teorier för vilka en sådan generalisering är möjlig kallas komplex orienterbar . De formella egenskaperna för Chern-klasserna förblir desamma, med en kritisk skillnad - regeln för att beräkna den första Chern-klassen för tensorprodukten av linjebuntar i termer av de första Chern-klasserna av nedbrytningen är inte ett (vanligt) tillägg, men ges av en formell koncernlag .

Chern-klassen i algebraisk geometri

Inom algebraisk geometri finns det en liknande teori om Chern-klasser av vektorbuntar. Det finns flera varianter, beroende på vilka grupper Chern-klasserna tillhör:

För komplexa grenrör kan Chern-klasserna ta värden i den vanliga kohomologin (som ovan).
För varianter över områden av allmän form kan Chern-klasser anta värden i kohomologiteorier som étale cohomology eller l-adic cohomology .
För sorter V över fält av allmän form kan Chern-klasserna också ta värden i homomorfismerna för Chow-grupperna CH(V). Till exempel är den första Chern-klassen av en linjebunt över ett grenrör V en homomorfism från CH( V ) till CH( V ) som minskar graden med 1. Detta motsvarar det faktum att Chow-grupper är analoga med homologigrupper och elementen av kohomologigrupper kan betraktas som homomorfismer av homologigrupper av produkten Whitney .

Chern-klasserna av grenrör med struktur

Cherns klassteori är källan till kobordisminvarianter för nästan komplexa strukturer .

Om M är ett nästan komplext grenrör, så är dess tangentknippe en komplex vektorbunt. Chern-klasserna av M definieras sedan som Chern-klasserna för dess tangentbunt . Om M också är kompakt och har dimensionen 2 d , så kan varje monomial av full grad 2 d i Chern-klasserna paras med grundklassen för grenröret M , vilket ger ett heltal, Chern-talet för grenröret M . Om M ′ är ett annat nästan komplext grenrör av samma dimension, så är det gränsande till M om och endast om Chern-numret för grenröret M ′ är detsamma som Chern-numret för grenröret M .

Teorin är också generaliserad till verkliga symplektiska vektorbuntar genom att använda kompatibla nästan komplexa strukturer. I synnerhet har symplektiska grenrör en unikt definierad Chern-klass.

Chern-klasser om aritmetiska kretsar och diofantiska ekvationer

(Se Arakelov geometries )

Se även

Pontryagin klass
Stiefel-Whitney klass
Zhen-Simons teori
Euler klass
Segre class
Toms isomorfism

Anteckningar

↑ Chern, 1946 .
↑ Tu, Loring, 1995 , sid. 267ff.
↑ Hatcher, 2003 .
↑ Milnor, Stasheff, 1974 .
↑ Notera: Notationen här skiljer sig från Milnor − Staszef notationen, men mer naturlig.
↑ Denna sekvens kallas ibland den exakta Euler-sekvensen .
↑ Harshorne, 1977 , sid. 176, kap. II. Sats 8.13..
↑ Låta vara en grupp av komplexa tal som verkar i n -dimensionellt rum utan ursprung genom multiplikation. Sedan är den huvudsakliga bunten med strukturgruppen , vars bas är det komplexa projektiva rummet . Linjen L vid (som går genom origo) kommer att vara en punkt i rymden . Katanaev, 2016 , 472 ${\displaystyle \mathbb {C} _{0}=\mathbb {C} \smallsetminus \{0\))$ $\mathbb {C} ^{n}\smallsetminus \{0\}$ $\mathbb {C} ^{n+1}{\stackrel {\pi }{\rightarrow }}\mathbb {CP} ^{n}$ $\mathbb {C} _{0}$ ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}=(\mathbb {C} ^{n+1}\smallsetminus \{0\})/\mathbb {C} _{0))$ $\mathbb {C} ^{n+1}$ ${\mathbb {CP}}^{n}$
↑ I teoretiska termer av ringar finns det en isomorfism av graderade ringar : $H^{2*}(M,\mathbb {Z} )\to \oplus _{k}^{\infty }\eta (H^{2*}(M,\mathbb {Z} )) [t],x\mapsto xt^{|x|/2}$ där till vänster är den kohomologiska ringen av jämna termer, är ringen av homomorfismer som inte tar hänsyn till gradering, och x är homogen och har grad | x |. $\eta$
↑ Grothendieck, 1958 .
↑ (Se även #Cheng-polynom .) Observera att om V är summan av linjebuntar, kan Chern-klasserna av V uttryckas som elementära symmetriska polynom av . Särskilt å ena sidan, $x_{i}$ $c_{i}(V)=e_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n}).$ $c(V):=\sum _{i=0}^{n}c_{i}(V),$ och å andra sidan, $c(V)=c(L_{1}\oplus \cdots \oplus L_{n})=\prod _{i=1}^{n}c(L_{i})=\prod _{ i=1}^{n}(1+x_{i})=\summa _{i=0}^{n}e_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n}).$ Därför kan man använda Newtons identiteter för att uttrycka potenssumman av ch(V) på ett annat sätt endast i termer av Chern-klasserna av V , vilket ger den erforderliga formeln.

Litteratur

Chern SS Karakteristiska klasser av Hermitian Manifolds // Annals of Mathematics . - Matematikens annaler, 1946. - V. 47 , nr. 1 . — S. 85–121 . — ISSN 0003-486X . - doi : 10.2307/1969037 . — .
Alexander Grothendieck . La théorie des classes de Chern // Bulletin de la Société Mathematique de France. - 1958. - T. 86 . — S. 137–154 . — ISSN 0037-9484 .
Jürgen Jost. Riemannsk geometri och geometrisk analys. — 4:a. - Berlin, New York: Springer-Verlag , 2005. - ISBN 978-3-540-25907-7 . (En mycket kort inledande översikt av Zhens klasser ges.)
May JP En kortfattad kurs i algebraisk topologi. - University of Chicago Press, 1999. - ISBN 978-0226511832 .
John Willard Milnor , James D. Stasheff. karaktäristiska klasser. — Princeton University Press; University of Tokyo Press, 1974. - V. 76. - (Annals of Mathematics Studies). - ISBN 978-0-691-08122-9 .
Elena Rubei. Algebraisk geometri, en kortfattad ordbok. - Berlin/Boston: Walter De Gruyter, 2014. - ISBN 978-3-11-031622-3 .
Raoul Bott Tu, Loring W. Differentiella former i algebraisk topologi. — Korr. 3. tryck.. - New York [ua]: Springer, 1995. - S. 267ff. — ISBN 3-540-90613-4 .
Harshorne R. Algebraisk geometri. - Springer-Verlag, 1977. - V. 52. - (Examinerade texter i matematik.). — ISBN 0-387-90244-9 . — ISBN 3-540-90244-9 .
Katanaev Mikhail Orionovich Geometriska metoder i matematisk fysik. - Den tredje, kompletterade versionen av den utökade versionen av föreläsningsförloppet. - 2016. - (En kurs med föreläsningar 2008-2016 vid det vetenskapliga och pedagogiska centret vid Moscow Institute of Science Academy uppkallad efter V.A. Steklov.).

Allen Hatcher. Proposition 3.10 // Vektorbuntar och K-teori . – 2003.

Länkar

Dieter Kotschick , Chern antal algebraiska sorter Arkiverad 6 juni 2011 på Wayback Machine