Korrelationsfunktion

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 24 september 2021; kontroller kräver 3 redigeringar .

Korrelationsfunktion - en funktion av tid och rumsliga koordinater , som anger korrelationen i system med slumpmässiga processer.

Definition

Den tidsberoende korrelationen mellan två slumpmässiga funktioner och definieras som: $X(t)$ $Y(t)$

$C(t,t^{\prime })=\langle X(t)Y(t^{\prime })\rangle$

där vinkelparenteserna anger medelvärdesförfarandet.

Om korrelationsfunktionen beräknas för samma process, kallas den autokorrelation :

$C_{auto}(t,t^{\prime })=\langle X(t)X(t^{\prime })\rangle$ .

På liknande sätt kan vi beräkna korrelationsfunktionen för processer som sker vid olika punkter i rymden vid olika tidpunkter:

$C(t,\mathbf {r} ,t^{\prime },\mathbf {r} ^{\prime })=\langle X(t,\mathbf {r} )Y(t^{\ primtal },\mathbf {r} ^{\prime })\rangle$ .

Korrelationsfunktioner används ofta inom statistisk fysik och andra discipliner som studerar slumpmässiga (stokastiska) processer .

Korrelationsfunktion i statistisk fysik

Inom statistisk fysik beskriver korrelationsfunktionen hur mikroskopiska variabler (som atomernas hastigheter ) är relaterade vid olika punkter i rymden vid olika tidpunkter. Den mest allmänna definitionen är följande:

$G\left(\mathbf {r} ,\mathbf {R} ,t,\tau \right)=\left\langle f_{1}\left(\mathbf {R} ,t\right)f_{ 2}\left(\mathbf {R} +\mathbf {r} ,t+\tau \right)\right\rangle$

var finns de funktioner vars korrelationer vi vill studera, vinkelparenteserna betyder medelvärde över den statistiska ensemblen (till exempel över den kanoniska ). $f_{1},f_{2}$

Simultana korrelationsfunktioner

Om vi är intresserade av om mikroskopiska variabler förändras på ett korrelerat sätt vid samma tidpunkt vid olika punkter i rymden , kan vi betrakta funktioner vid samma tidpunkt, då kommer deras korrelationsfunktion att skrivas som: $f_{1},f_{2}$

$G\left(\mathbf {r} ,\mathbf {R} ,t\right)=\left\langle f_{1}\left(\mathbf {R} ,t\right)f_{2}\ vänster(\mathbf {R} +\mathbf {r} ,t\right)\right\rangle$

en sådan korrelationsfunktion kallas simultaneous .

På liknande sätt kan man införa en samtidig korrelationsfunktion för fallet när det inte finns två funktioner, utan s stycken: $f_{1},f_{2}$

$G^{\left(s\right)}\left(\mathbf {r} _{1},\dots ,\mathbf {r} _{n}\right)=\left\langle f_{1 }\left(\mathbf {r} _{1},t\right)\dots f_{s}\left(\mathbf {r} _{n},t\right)\right\rangle$

Rumsliga korrelationsfunktioner

Ibland krävs det att man överväger den tidsmässiga utvecklingen av mikroskopiska variabler. För detta används den rumsliga korrelationsfunktionen :

$G\left(\mathbf {R} ,t,\tau \right)=\left\langle f_{1}\left(\mathbf {R} ,t\right)f_{2}\left(\ mathbf {R} ,t+\tau \right)\right\rangle$

Samtidigt är det viktigt att förstå att, trots att i jämvikt vissa makroskopiska variabler inte är beroende av tid, kan mikroskopiska variabler (som t.ex. en partikels hastighetsvektor ) bero på tiden, och därför sådana korrelationsfunktioner, som i huvudsak är makroskopiska storheter, kan också bero på tid.

Exempel

Ett exempel på korrelationsfunktioner är den radiella fördelningsfunktionen .

Magnetism

Ett annat klassiskt exempel på korrelationsfunktioner är det i spinnsystemet , där det beskriver deras skalära produkt i genomsnitt över ensemblen :

$G\left(\mathbf {r} ,\mathbf {R} \right)=\left\langle S\left(\mathbf {R} \right)S\left(\mathbf {R} +\mathbf {r} \right)\right\rangle -\left\langle S\left(\mathbf {R} \right)\right\rangle \left\langle S\left(\mathbf {R} +\mathbf {r} \right)\right\rangle$ där S är partikelns spinn , parenteser anger ensemblemedelvärde .

Även i den paramagnetiska fasen är snurren korrelerade, eftersom om avståndet mellan dem är litet, sker en interaktion mellan snurren, vilket leder till att spinnen är korrelerade, men deras vidare ordning förhindras av termisk rörelse . Därför visar det sig att korrelationerna mellan snurr minskar exponentiellt med ökande avstånd mellan dem:

$G\left(\mathbf {r} \right)\approx {\frac {1}{\mathbf {r} ^{2-d+\eta ))}\exp \left({\frac {-\ mathbf {r} }{\xi }}\right))$

var är avståndet mellan snurren, d är dimensionen , är den så kallade. kritiskt index . När temperaturen sjunker försvagas den termiska rörelsen, och korrelationsradien tenderar till oändlighet: $\mathbf {r}$ $\eta$ $\xi$

${\displaystyle \xi \sim \left|T-T_{c}\right|^{-\nu ))$

där är ett annat kritiskt index , är Curie-temperaturen . $\nu$ $T_{c}$

Som en konsekvens av denna formel sker en andra ordningens fasövergång i sådana system .

Korrelationsdensitetsfunktionen för antalet partiklar av ordningen s

I synnerhet, som ett exempel, kan vi betrakta korrelationsfunktionen för tätheten av antalet partiklar av ordningen s - detta är en funktion av formen

$G^{\left(s\right)}\left(\mathbf {r} _{1},\dots ,\mathbf {r} _{s}\right)=\left\langle {\hat {n}}\left(\mathbf {r} _{1}\right)\dots {\hat {n}}\left(\mathbf {r} _{s}\right)\right\rangle$

där värdet

${\hat {n}}\left(\mathbf {r} \right)=\sum \limits _{i=1}^{N}\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i})$

kallas den mikroskopiska densiteten av antalet partiklar i den meningen att genom att integrera den över en viss volym V , kan vi hitta antalet partiklar i den:

$\int _{V}{\hat {n}}\left(\mathbf {r} \right)\mathrm {d} \mathbf {r} =N_{V}$

I fallet s = 2 kallas korrelationsfunktionen för densiteten av antalet partiklar för parfunktionen.

Ansluten korrelationsfunktion för partikelantalsdensitet

Konceptet med en sammankopplad korrelationsfunktion av densiteten av antalet partiklar introduceras också : detta är en sådan korrelationsfunktion som tenderar till 0 om partiklarna är uppdelade i 2 grupper och sedan tenderar avståndet som separerar dessa grupper till oändligt. Termen "ansluten" betyder att den schematiska expansionen för en sådan korrelationsfunktion endast innehåller sammankopplade diagram. $\left(\mathbf {r} _{i_{1}}\dots \mathbf {r} _{i_{l}}\right)$ $\left(\mathbf {r} _{j_{1}}\dots \mathbf {r} _{j_{m}}\right),\ l+m=s$

Det finns en sk. principen om försvagning av korrelationer : fördelningsfunktionerna med många partiklar i ett klassiskt system bryts ned i produkter av många partikelfördelningsfunktioner med ett mindre antal argument med en oändlig ökning av skillnaderna mellan motsvarande argument [1] , varav, i synnerhet följer det:

$G^{\left(2\right)}\left(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}\right)=G^{\left(2\right) }\left(\mathbf {r} _{1}\right)G^{\left(2\right)}\left(\mathbf {r} _{1}\right)$

Därför kan vi skriva följande uttryck för den tvåpartikelkopplade korrelationsfunktionen för partikelantalsdensiteten:

$G_{coh}^{\left(2\right)}\left(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}\right)=G^{\left(2 \right)}\left(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}\right)-G^{\left(1\right)}\left(\mathbf {r} _ {1}\right)G^{\left(1\right)}\left(\mathbf {r} _{2}\right)$

Anslutna korrelationsfunktioner för densiteten av en högre ordning av antalet partiklar introduceras på liknande sätt:

$G^{\left(3\right)}\left(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\mathbf {r} _{3}\right)= G_{coh}^{\left(3\right)}\left(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\mathbf {r} _{3}\right)+ G^{\left(1\right)}\left(\mathbf {r} _{1}\right)G^{\left(1\right)}\left(\mathbf {r} _{2}\ höger)G^{\left(1\right)}\left(\mathbf {r} _{3}\right)+G_{coh}^{\left(2\right)}\left(\mathbf {r } _{1},\mathbf {r} _{2}\right)G^{\left(1\right)}\left(\mathbf {r} _{3}\right)+G_{coh}^ {\left(2\right)}\left(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{3}\right)G^{\left(1\right)}\left(\mathbf {r} _{2}\right)+G_{coh}^{\left(2\right)}\left(\mathbf {r} _{2},\mathbf {r} _{3}\right) G^{\left(1\right)}\left(\mathbf {r} _{1}\right)$

Genererar funktionell

För korrelationsfunktionerna för densiteten av antalet partiklar kan en genererande funktion konstrueras :

$G\left(a\right)=\left\langle e^{\int a\left(\mathbf {r} \right){\hat {n))\left(\mathbf {r} \right )\mathrm {d} \mathbf {r} }\right\rangle$

Sedan introduceras densitetskorrelationsfunktionen som en variationsderivata av den genererande funktionen:

$G^{\left(s\right)}\left(\mathbf {r_{1)) ,\dots ,\mathbf {r} _{s}\right)=\left.{\frac {\ delta ^{s}G\left(a\right)}{\delta a\left(\mathbf {r} _{1}\right)\dots \delta a\left(\mathbf {r_{s)) \ höger)}}\right|_{a=0}$

På liknande sätt kan en kopplad korrelationsfunktion introduceras:

$G_{coh}^{\left(s\right)}\left(\mathbf {r} _{1},\dots ,\mathbf {r} _{s}\right)=\left.{ \frac {\delta ^{s}W\left(a\right)}{\delta a\left(\mathbf {r} _{1}\right)\dots \delta a\left(\mathbf {r} _{s}\right)}}\right|_{a=0}$

var

$W\left(a\right)=\ln \left(G\left(a\right)\right)$

Fysisk betydelse

Korrelationsfunktionen är ett mått på systemets ordning och reda. Den visar hur mikroskopiska variabler korrelerar vid olika tidpunkter vid olika punkter i genomsnitt.

Den fysiska innebörden av korrelationsfunktionen för densiteten av antalet partiklar är att den visar sannolikhetstätheten för det relativa arrangemanget av s partiklar. Uppkomsten av korrelationer beror på närvaron av interaktion mellan partiklar, på grund av vilken kortdistansordning uppstår .

Det är viktigt att notera att följande relation gäller:

$G_{coh}^{\left(2\right)}\left(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}\right)=\left\langle \delta { \hat {n}}\left(\mathbf {r} _{1}\right)\delta {\hat {n}}\left(\mathbf {r} _{2}\right)\right\rangle$

var är densitetsfluktuationen . Således beskriver den sammankopplade korrelationsfunktionen för partikelantaltätheten fluktuationerna av sannolikhetstätheten för partiklarnas relativa position. $\delta {\hat {n}}\left(\mathbf {r} \right)={\hat {n}}\left(\mathbf {r} \right)-\left\langle {\hat {n}}\left(\mathbf {r} \right)\right\rangle$

Dessutom kan korrelationsfunktioner i den mest generella formen användas för att hitta andra fluktuationer, såsom fluktuationer i antal partiklar och temperatur.

Korrelationsfunktion i kvantfältteori

I kvantfältteorin introduceras definitionen av en n-punktskorrelationsfunktion genom produkten av n kronologiskt ordnade fält : ${\displaystyle C_{n}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}):=\left\langle T\phi (x_{1})\phi (x_{2})\ ldots \phi (x_{n})\right\rangle ={\frac {\int {\mathcal {D))\phi \;Te^{-S[\phi ]}\phi (x_{1})\ ldots \phi (x_{n})}{\int {\mathcal {D}}\phi \;Te^{-S[\phi ])))))$

där — Kronologisk ordningsoperator , — åtgärd . $T$ $S$

Korrelationsfunktionen kallas också ofta helt enkelt för korrelatorn .

Korrelationsfunktion i högenergifysik

Inom högenergifysik är korrelationsfunktionen ett mått på korrelationen mellan några observerbara storheter . I studien av hadron -hadron- kollisioner (till exempel proton -proton eller nuclear-nuclear ) är analysen av korrelationer mellan olika observerbara storheter, till exempel mellan tvärgående momenta eller multipliciteter av sekundära partiklar producerade som ett resultat av en kollision. används i stor utsträckning.

När man studerar sådana processer är det vanligt att använda variabler som hastighet eller pseudo -hastighet . Vanligtvis betraktas två intervall (kallade fönster ) i snabbhetsutrymmet, belägna på motsatta sidor av kollisionspunkten för kolliderande partikelstrålar i acceleratorn , därför är de korrelationer som uppstår i detta fall mellan de observerade storheterna, som är funktioner av snabbhet (eller pseudo -snabbhet ) kallas ofta "framåt-bakåtkorrelationer" .

För tydlighetens skull, låt oss överväga de så kallade "multiplicity-multiplicity korrelationerna" där multiplicitet är en funktion som specificerar antalet partiklar med hastighet som hör till något givet intervall. I detta fall introduceras korrelationsfunktionen som beroendet av medelmångfalden i ett (vanligtvis höger) snabbhetsintervall av multipliciteten i ett annat intervall. I fallet med en linjär korrelationsfunktion har vi följande uttryck för den:

${\displaystyle {\langle n_{f}\rangle }_{\langle n_{b}\rangle }=a+b\cdot n_{b))$

Detta antagande är ganska överensstämmande med de experimentella data som erhållits vid olika partikelacceleratorer , inklusive SPS och Fermilab . Värdet på b från formeln ovan kallas för långdistanskorrelationskoefficienten. Som en konsekvens av formeln ovan kan man få följande formel för korrelationskoefficienten:

$b={\frac {\left\langle n_{b}n_{f}\right\rangle -\left\langle n_{f}\right\rangle \left\langle n_{b}\right\rangle }{D_{n_{f}}}}}$

Korrelationskoefficienten som hittas på detta sätt gör det möjligt att studera fysiken hos fenomen som uppstår vid hadronkollisioner . I synnerhet kan skillnaden mellan korrelationskoefficienten från noll betyda att de studerade kvantiteterna (i det här fallet multipliciteten i de främre och bakre fönstren) på något sätt är relaterade, men de resulterande beroenden har inte nödvändigtvis orsakssamband .

Uppskattning av korrelationsfunktioner och dess egenskaper

Bedömningen av ingångsåtgärderna för ACS som är nödvändiga för beräkningen av korrelationsfunktionerna utförs experimentellt genom att observera deras implementering under lång tid T och med beräkningen enligt följande formel: $r_{x}(\tau )=1/T\int \limits _{0}^{T}x(t)x(t+\tau )dt$

Litteratur

Hill. T. Statistisk mekanik, M., 1960
Cooney F. M. Statistisk fysik och termodynamik, M.: Nauka, 1981
Bogolyubov N. N., Shirkov D. V., Quantum fields, 2nd ed., M., 1993
A. A. Abrikosov, L. P. Gorkov, I. E. Dzyaloshinskii. Metoder för kvantfältteori i statistisk fysik., M., Fizmatgiz, 1962
Fysisk uppslagsverk (red. Prokhorov)
Akhiezer A. I., Peletminsky S. V., Methods of statistical physics, M: Nauka, 1977

Se även

Korrelation

Autokorrelationsfunktion

Large Hadron Collider

Anteckningar

↑ Akhiezer A. I., Peletminsky S. V., Methods of statistical physics, M: Nauka, 1977 - s. 111