Hurwitz stabilitetskriterium

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 24 oktober 2021; kontroller kräver 6 redigeringar .

Hurwitz stabilitetskriteriet är ett av sätten att analysera ett linjärt stationärt dynamiskt system för stabilitet , utvecklat av den tyske matematikern Adolf Hurwitz . Tillsammans med Routh-kriteriet är det en representant för familjen av algebraiska stabilitetskriterier, i motsats till frekvenskriterier, såsom Nyquist-Mikhailov stabilitetskriteriet . Fördelen med metoden är dess grundläggande enkelhet, nackdelen är behovet av att utföra operationen för att beräkna determinanten, som är associerad med vissa beräkningssubtiliteter (till exempel för stora matriser kan ett betydande beräkningsfel uppstå).

Formulering

Metoden arbetar med koefficienterna för systemets karakteristiska ekvation . Låt vara systemets överföringsfunktion och låt vara systemets karakteristiska ekvation. Vi representerar det karakteristiska polynomet i formen $W(s)={\frac {Y(s)}{U(s)}}$ $\ U(s)=0$ $\ U(s)$

{\displaystyle \ U(s)=a_{0}s^{n}+a_{1}s^{n-1}+...+a_{n))

var är ett komplext argument. $s$

Från koefficienterna för den karakteristiska ekvationen konstrueras Hurwitz- determinanten enligt algoritmen : $\Delta$

längs huvuddiagonalen, från vänster till höger, är alla koefficienter för den karakteristiska ekvationen från till satta ; ${\displaystyle \a_{1))$ ${\displaystyle \a_{n))$
från varje element i diagonalen upp och ner fylls kolumner av determinanten så att indexen minskar från topp till botten;
nollor sätts i stället för koefficienter med index mindre än noll eller större . $\n$

Hurwitz-matrisens dimension bestäms av den maximala effekten vid s i den karakteristiska ekvationen (det vill säga n ).

Eller uttryckligen [1]

$\Delta ={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{3}&a_{5}&\ldots &0\\a_{0}&a_{2}&a_{4}&\ldots &0\\0&a_{ 1}&a_{3}&\ldots &0\\0&a_{0}&a_{2}&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &a_{n}\end{vmatrix}}$

Sedan enligt Hurwitz-kriteriet :

För att det dynamiska systemet ska vara stabilt är det nödvändigt och tillräckligt att alla huvuddiagonala mindreåriga i Hurwitz- determinanten är positiva, förutsatt att . Dessa minderåriga kallas Hurwitz-determinanter. $\n$ $a_{0}>0$

(Ett exempel på Hurwitz-determinanten för den karakteristiska ekvationen av femte graden.)

Vi har en karakteristisk ekvation av femte graden: . Hurwitz-determinanterna kommer att se ut så här: $\ U(s)=a_{0}s^{5}+a_{1}s^{4}+a_{2}s^{3}+a_{3}s^{2}+a_ {4}s+a_{5}$

$\Delta _{5}={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{3}&a_{5}&0&0\\a_{0}&a_{2}&a_{4}&0&0\\0&a_{1} &a_{3}&a_{5}&0\\0&a_{0}&a_{2}&a_{4}&0\\0&0&a_{1}&a_{3}&a_{5}\end{vmatrix}}$ , , , , och . För stabiliteten hos ett dynamiskt system är det nödvändigt och tillräckligt att alla fem determinanter är positiva. $\Delta _{4}={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{3}&a_{5}&0\\a_{0}&a_{2}&a_{4}&0\\0&a_{1} &a_{3}&a_{5}\\0&a_{0}&a_{2}&a_{4}\end{vmatrix}}$ $\Delta _{3}={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{3}&a_{5}\\a_{0}&a_{2}&a_{4}\\0&a_{1}&a_{ 3}\end{vmatrix}}$ $\Delta _{2}={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{3}\\a_{0}&a_{2}\end{vmatrix}}$ $\Delta _{1}={\begin{vmatrix}a_{1}\end{vmatrix}}$

Genom att analysera Hurwitz-kriteriets tillstånd kan man märka dess redundans. Antalet ojämlikheter kan halveras med Liénard-Schipar-satsen . Men i beräkningsmässiga termer minskar inte kriteriets komplexitet nämnvärt, eftersom det oftast är nödvändigt att beräkna minderåriga av lägre ordning vid beräkningen av en mindreårig av hög ordning.

Fördelar och nackdelar

Nackdelen med Hurwitz-kriteriet är dess låga sikt. Fördel - bekvämt för implementering på en dator. Det används ofta för att bestämma inverkan av en av ACS-parametrarna på dess stabilitet. Så likheten mellan huvuddeterminanten och noll indikerar att systemet är på gränsen för stabilitet. I det här fallet, antingen - under de andra förhållandena, är systemet på gränsen till aperiodisk stabilitet, eller den näst sista minderåriga - om alla andra minderåriga är positiva, är systemet på gränsen till oscillerande stabilitet. Parametrarna för ACS bestämmer värdena för koefficienterna för dynamikekvationen, därför påverkar en förändring av någon parameter värdet på determinanten . Genom att undersöka detta inflytande kan man finna vid vilket värde determinanten blir lika med noll, och sedan negativ. Detta kommer att vara gränsvärdet för parametern som studeras, varefter systemet blir instabilt. $\Delta _{n}=\Delta _{n-1}=0$ $\Delta _{n}=0$ $\Delta _{n-1}=0$ $K_{i}$ $\Delta _{n-1}$ $K_{i}$ $\Delta _{n-1}$

På frågan om att automatisera metoden

Hurwitz-metoden är ganska bekväm för att bestämma stabiliteten hos länkar med hjälp av en dator. I det här fallet bör det dock beaktas att tillämpningen av kriteriet för system med en ordning högre än 5 kan leda till betydande fel, eftersom beräkningen av determinanter av hög ordning är en ganska komplicerad operation och leder till ackumulering av räknefel.

Nedan är ett exempel på att automatisera metodens arbete med ett av de vanligaste språken för tekniska beräkningar MATLAB version 5.3 med dess syntax.

Funktionen nedan utför alla nödvändiga beräkningar. För att fungera måste den placeras i en textfil med filtillägget .m och ett namn som matchar namnet på själva funktionen, i det här fallet ska filnamnet vara raus_gur.m .

funktion [Ust, Mnrs, Mtrx] = raus_gur ( D ) % Bestämning av systemstabilitet med Routh-Hurwitz-metoden, givet vid % hjälp av nästa överföringsfunktion. % %B(s) % W(s) = ----, %D(s) % % Här är D(s) ett karakteristiskt polynom. % % D(s) = a0*s^n + a1*s^(n-1) + a2*s^(n-2) + ... + an % % a0, a1, a2, ..., an - koefficienter för polynomet D. % % % Att anropa RAUS_GUR-funktionen kan göras på två sätt: % % Metod 1. % %[Ust, Mnrs, Mtrx] = raus_gur(D); % % Inmatningsparametrar: %D - vektor av nämnarkoefficienter (karakteristiskt polynom) % % utdataparametrar: % ust - ett strängvärde som anger om systemet är stabilt eller instabilt % % Mnrs - vektor för minderåriga värden från minsta till största, % som måste beräknas för att bedöma stabiliteten med Routh-Hurwitz-metoden. % Enligt Routh-Hurwitz-metoden är systemet stabilt om alla minderåriga är positiva. % Beräkningar av värdet av den yttre moll är inte vettiga, eftersom dess tecken % kommer alltid att matcha tecknet för föregående moll. % % Mtrx är den fullständiga Routh-Hurwitz-matrisen för det givna polynomet. % % Metod 2. % %[Ust, Mnrs, Mtrx] = raus_gur(W); % % Inmatningsparametrar: %W - LTI-klassobjekt (se beskrivning av kontrollsystemets verktygslåda) % % Utgångsparametrarna är desamma som ovan. % % % Fokuserad på att arbeta i MATLAB 2022a version om isa ( D , 'tf' ) [ ~ , D ]= tfdata ( D , 'v' ); slutet n = längd ( D ) -2 ; _ Dr =[ D nollor ( 1 , n )]; A = flipud ( omforma ( Dr , 2 ,[])); Mtrx = cell2mat ( arrayfun (@( x )( circshift ( A ' , x )) ' ,( 0 : n / 2 ) ' , "UniformOutput" , false )); Mnrs = cell2mat ( arrayfun (@( x ) det ( Mtrx ( 1 : x , 1 : x )),( 2 : n ) ' , "UniformOutput" , false )); Z = '' ; om någon ( Mnrs < 0 ) Z = 'inte' ; slutet Ust =[ 'system' , Z , 'stabil' ]; slutet

Exempel

Låt överföringsfunktionen ges:

$\operatorname {W} (s)={\frac {Y(s)}{U(s)}}={\frac {5\cdot s+4}{{{s}^{5}} +16\cdot {{s}^{4}}+95\cdot {{s}^{3}}+260\cdot {{s}^{2}}+324\cdot s+144}}$

Då skulle anropet till ovanstående funktion se ut så här:

format kortG

[A, B, C] = raus_gur([1 16 95 260 324 144])
Och resultatet av beräkningen:
A =

"systemet är stabilt"

1260

2.4696e+05

6.3504e+07

16 260 144 0 0

1 95 324 0 0

0 16 260 144 0

0 1 95 324 0

0 0 16 260 144

0 0 1 95 324

A rapporterar att systemet är stabilt.

Vektor B innehåller värden för diagonala determinanter från 2x2 till 4x4, det första elementet har inget värde, och värdet på den yttre determinanten kommer alltid att ha samma tecken som den föregående. Enligt Hurwitz-metoden måste alla dessa bestämningsfaktorer vara positiva för att systemet ska vara stabilt.

Matrisen C är själva Hurwitz-determinanten.

Denna funktion kan användas i matematiska paket som har en syntax som liknar MATLAB eller efter en liten ändring.

Systemet är på gränsen till aperiodisk stabilitet om . Systemet är på gränsen till oscillerande stabilitet om Hurwitz-determinanten med index (n-1) är lika med 0. $a_{n}=0$

Se även

Anteckningar

↑ Gantmakher F. R. Matrix Theory. - 5:e uppl. - M. : Fizmatlit, 2010. - S. 463. - 560 sid. - ISBN 978-5-9221-0524-8 .

Litteratur

Chetaev N. G. Rörelsestabilitet. - M: Nauka, 1965. - 234 sid.