Routh-Hurwitz sats

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 8 mars 2020; verifiering kräver 1 redigering .

Routh-Hurwitz-satsen ger en möjlighet att avgöra om ett givet polynom är Hurwitz-stabilt . Det bevisades 1895 av A. Hurwitz och uppkallades efter E. J. Routh (som 1876 föreslog ett annat - men likvärdigt med Hurwitz-kriteriet - kriterium för ett polynoms stabilitet) och A. Hurwitz [1] .

Konventioner

Låta vara ett polynom (med komplexa koefficienter) av grad . Dessutom, bland dess rötter finns det inga två rötter på samma imaginära linje (dvs på linjen där är den imaginära enheten och är ett reellt tal ). Låt oss beteckna (polynom av grad ) och (icke-noll polynom av grad strikt mindre än ) med , med avseende på de reella och imaginära delarna av den imaginära linjen. $F Z)$ $n$ $z=ic$ $i$ $c$ $P_{0}(y)$ $n$ $P_{1}(y)$ $n$ $f(iy)=P_{0}(y)+iP_{1}(y)$ $f$

Låt oss presentera följande notation:

$sid$ är antalet rötter i det vänstra halvplanet (tas med hänsyn till multipliciteter); $f$
$q$ är antalet rötter i det högra halvplanet (med hänsyn till multipliciteterna); $f$
$\Delta \arg f(iy)$ — ändring av argumentet när det går från till ; $f(iy)$ $y$ $-\infty$ $+\infty$
$w(x)$ är antalet ändringar i den generaliserade Sturm-kedjan som erhållits från och med användning av den euklidiska algoritmen ; $P_{0}(y)$ $P_{1}(y)$

$I_{-\infty }^{+\infty }r(x)$ är Cauchy-indexet för en rationell funktion på den reella linjen. $r(x)$

Låt vara ett Hurwitz-polynom över fältet av komplexa tal (dvs. det har inga komplexa koefficienter och alla dess rötter ligger i det vänstra halvplanet). Låt oss sammanfatta det: $F Z)$ $f$ $f$

f(z)=g(z^{2})+zh(z)

Låt oss ange koefficienter som , och — som . Uppmärksamhet! De är numrerade "från slutet", det vill säga den fria koefficienten för polynomet är . $g$ ${\displaystyle a_{j}^{0))$ $h$ $a_{j}^{1}$ $g$ $a_{0}^{0}$

Formulering

I notationen som introducerades ovan är Routh-Hurwitz-satsen formulerad enligt följande:

pq={\frac {1}{\pi }}\Delta \arg f(iy)=-I_{-\infty }^{+\infty }{\frac {P_{1}(y)} {P_{0}(y)}}=w(+\infty )-w(-\infty ).

Från den första likheten kan vi till exempel dra slutsatsen att när förändringen i argumentet är positiv, så finns det fler rötter till vänster om den imaginära axeln än till höger. Jämlikhet kan ses som en komplex analog till Sturms teorem . Det finns dock en skillnad: i Sturms sats är den vänstra sidan och från den högra sidan antalet förändringar i Sturmkedjan (medan det i det här fallet hänvisar till den generaliserade Sturmkedjan). $f(iy)$ $F Z)$ $pq=w(+\infty )-w(-\infty )$ $p+q$ $w$ $w$

Hurwitz stabilitetskriterium

Vi definierar Hurwitz- matrisen som udda och jämna koefficienter i linje med en "stege":

H_{f}={\begin{pmatrix}a_{1}&a_{3}&\dots &a_{1+2\cdot [{\frac {n-1}{2))]}&&\\ a_{0}&a_{2}&\dots &a_{2\cdot [{\frac {n}{2}}]}&&\\&a_{1}&a_{3}&\dots &a_{1+2\cdot [{\frac {n-1}{2}}]}&\\&a_{0}&a_{2}&\dots &a_{2\cdot [{\frac {n}{2}}]}&\\ &\vdots &&&\vdots &\\&&&&\dots &a_{n}\end{pmatrix}},

beroende på graden av polynomet kommer den sista raden att innehålla jämna eller udda koefficienter. Alla huvudsakliga minderåriga i denna matris är positiva om är ett Hurwitz-polynom, och vice versa. $f$

Rouths stabilitetskriterium

Sturmkedjan börjar med polynom och definierar en sekvens av ledande koefficienter för kedjans polynom. Alla element i denna sekvens har exakt samma tecken om är ett Hurwitz-polynom, och vice versa. $g$ $h$ ${\displaystyle a_{0}^{1},a_{0}^{2},\dots,a_{0}^{n))$ $f$

Det finns en mer allmän version av Routh-kriteriet: antalet rötter i det högra halvplanet är lika med antalet teckenförändringar i kedjan.
Observera också att i notationen är talet variabelns index, inte exponenten. ${\displaystyle a_{0}^{i))$ $i$

Ekvivalens

Hurwitz- och Routh-kriterierna är likvärdiga. De karaktäriserar båda hurwitz-stabila polynom.

Bevis

Genom att tillämpa Gaussmetoden på matrisen får vi en diagonal matris . Men nu uppfyller Hurwitz-kriteriet kravet "alla element i den transformerade matrisen har samma tecken." Om vi i detalj överväger hur Gauss-metoden transformerar matrisen får vi förutsättningarna för att generera Sturm-kedjan. Om vi ser till att koefficienterna motsvarar koefficienterna får vi Routh-kriteriet. $H_{f}$ $H_{f}^{*}$ $h_{j,j}^{*}$ $H_{f}$ $h_{j,j}^{*}$ ${\displaystyle a_{0}^{j))$

Routh-Hurwitz kriterium

Detta teorem innebär lätt ett stabilitetskriterium, eftersom Hurwitz är stabilt om och endast om . Således får vi villkor på koefficienterna genom att införa ytterligare villkor och . $F Z)$ $pq=n$ $F Z)$ $w(+\infty )=n$ $w(-\infty )=0$

Tillsammans med Stieltjes -satsen ger Routh-Hurwitz-satsen sätt att karakterisera stabila polynom. Stabilitet är en egenskap som är viktig inte bara i teorin om funktioner för komplexa variabler. Till exempel, i kontrollteorin, är ett rationellt filter stabilt om och endast om dess z-transform är stabil. Det är sådant om Laurentpolynomet i nämnaren inte har några rötter utanför enhetscirkeln . Lösningen på detta problem kan dock reduceras till problemet med stabiliteten hos ett "vanligt" polynom i formuleringen som presenteras i denna artikel.

Dessutom ger korrespondensen mellan Routh- och Hurwitz-testen mer information om strukturen på det enkla Routh-testet, vilket är synligt när man studerar det mer komplexa Hurwitz-testet.

Se även

Anteckningar

↑ Postnikov, 1981 , sid. 15-16.

Litteratur

Gantmakher F. R. Matrix Theory. — M .: Nauka , 1967. — 576 sid.
Postnikov M. M. Stabila polynom. - M. : Nauka, 1981. - 176 sid.

Länkar

Weisstein, Eric W. Routh-Hurwitz teorem (engelska) på Wolfram MathWorlds webbplats .