Gauss lemma om geodetik

Gauss geodetiska lemma säger att varje tillräckligt liten sfär centrerad i en punkt på ett Riemann-grenrör är vinkelrät mot varje geodetisk genom en punkt.

Lemmat används för att bevisa att geodetik är lokalt kortaste kurvor och är av grundläggande betydelse i studiet av geodetisk konvexitet och normala koordinater .

Formulering

Låt beteckna tangentrymden vid en punkt i Riemann-grenröret och vara den exponentiella kartan . Observera att för vilken vektor som helst kan tangentrymden till tangentrymden identifieras med själva tangentrymden . $T_{p}$ $sid$ $(M,g)$ $\exp _{p}\colon T_{p}\to M$ $x\in T_{p}$ $T_{x}T_{p}$ $T_{p}$

För alla $x,v\in T_{p}$

g((d_{x}\exp _{p})(v),(d_{x}\exp _{p})(x))=\langle v,x\rangle ,

där anger differentialen för den exponentiella mappningen. $d_{x}\exp _{p}\colon T_{p}=T_{x}T_{p}\to T_{\exp _{p}x}$

Länkar

Härledning av Gauss-lemmat med hjälp av Hamiltonsk mekanik på YouTube