Linjär ojämlikhet

En linjär olikhet är en ojämlikhet som involverar linjära funktioner . En linjär olikhet innehåller en av olikhetssymbolerna [1]

< - mindre
> - mer
$\leqslant$ - mindre än eller lika
$\geqslant$ - större än eller lika med
$\neq$ - inte lika med

och även (formellt)

= - är lika med

En linjär olikhet ser exakt ut som en linjär ekvation , men istället för ett likhetstecken sätts ett olikhetstecken.

Linjära olikheter i reella tal

Tvådimensionella linjära ojämlikheter

Tvådimensionella linjära ojämlikheter är uttryck för formen:

axe+by<c

och

axe+by\geqslant c,

där ojämlikheterna kan vara strikta eller inte. Uppsättningen av lösningar på en sådan ojämlikhet kan grafiskt representeras som ett halvplan (alla punkter på "ena sidan" av en fast linje) av det euklidiska planet [2] . Linjen som definierar halvplanet ( ax + by = c ) ingår inte i lösningen om olikheten är strikt. En enkel procedur för att bestämma vilket av halvplanen som är lösningen är att beräkna värdet av funktionen ax + by vid en punkt ( x 0 , y 0 ) som inte är på en linje, och kontrollera om denna punkt uppfyller olikheten .

Till exempel [3] , för att rita en lösning x + 3 y < 9, rita först en linje med ekvationen x + 3 y = 9 (streckad linje) för att visa att linjen inte tillhör lösningsområdet, eftersom olikheten är strikt. Sedan väljer vi en lämplig punkt som inte ligger på linjen, till exempel (0,0). Eftersom 0 + 3(0) = 0 < 9, tillhör denna punkt mängden lösningar till ojämlikheten, och halvplanet som innehåller denna punkt (halvplanet "under" linjen) är mängden lösningar till linjär ojämlikhet.

Linjära ojämlikheter i högre dimensionella utrymmen

I rymden R n är linjära olikheter uttryck som kan skrivas som

f({\bar {x)))<b

eller

f({\bar {x)))\leqslant b,

där f är en linjär form , och b är ett konstant reellt värde. ${\bar {x}}=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$

Mer specifikt kan detta skrivas som

a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}<b

eller

a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}\leqslant b.

Här kallas de okända, men kallas koefficienter. ${\displaystyle x_{1},x_{2},...,x_{n))$ ${\displaystyle a_{1},a_{2},...,a_{n))$

Alternativt kan samma skrivas som

g(x)<0\,

eller

g(x)\leqslant 0,

där g är en affin funktion [4]

Det är

a_{0}+a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}<0

eller

a_{0}+a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}\leqslant 0.

Observera att all olikhet som innehåller tecknen "större än" eller "större än eller lika med" kan skrivas om till en olikhet med tecknen "mindre än" eller "mindre än eller lika med", så det finns inget behov av att definiera linjära olikheter med dessa tecken.

System av linjära ojämlikheter

Ett system av linjära ojämlikheter är en uppsättning ojämlikheter med samma variabler:

{\begin{alignedat}{7}a_{11}x_{1}&&\;+\;&&a_{12}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{1n}x_{n }&&\;\leqslant \;&&&b_{1}\\a_{21}x_{1}&&\;+\;&&a_{22}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{2n}x_ {n}&&\;\leqslant \;&&&b_{2}\\\vdots \;\;\;&&&\vdots \;\;\;&&&&\vdots \;\;\;&&&&&\;\vdots \\a_ {m1}x_{1}&&\;+\;&&a_{m2}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{mn}x_{n}&&\;\leqslant \;&&&b_{m}\ \\end{aligned}}

Här finns variabler, är systemkoefficienter och är konstanta termer. ${\displaystyle x_{1},\ x_{2},...,x_{n))$ ${\displaystyle a_{11},\ a_{12},...,\ a_{mn))$ ${\displaystyle b_{1},\ b_{2},...,b_{m))$

Kortfattat kan detta skrivas som en matrisojämlikhet

Ax\leqslant b,

där A är en m × n matris , x är en n × 1 kolumnvektor av variabler, och b är en m × 1 kolumnvektor med konstanter.

I de ovan beskrivna systemen kan både strikta och icke-strikta ojämlikheter användas.

Inte alla system med linjära ojämlikheter har en lösning.

Applikationer

Polyhedra

Mängden lösningar till en reell olikhet bildar ett halvrum av det n -dimensionella reella rummet, ett av de två halvrum som definieras av motsvarande linjära ekvation.

Uppsättningen av lösningar till systemet med linjära ojämlikheter motsvarar skärningspunkten mellan halvrum som definieras av individuella ojämlikheter. Det är en konvex uppsättning eftersom halvrum är konvexa uppsättningar, och skärningspunkten mellan en uppsättning konvexa uppsättningar är också en konvex uppsättning. I icke- degenererade fall är denna konvexa uppsättning en konvex polyeder (möjligen obunden, såsom ett halvrum, en platta mellan två parallella halvrum eller en konvex kon ). Det kan också vara en tom eller konvex polyeder av lägre dimension som begränsas av ett affint delrum av det n -dimensionella rummet Rn .

Linjär programmering

Problemet med linjär programmering är att leta efter det optimala (maximala eller lägsta värdet) för en funktion (kallad objektiv funktion ) under en viss uppsättning begränsningar för variabler, som i allmänhet är linjära olikheter [5] . Listan över dessa restriktioner är ett system av linjära ojämlikheter.

Generalisering

Ovanstående definition kräver väldefinierade operationer för addition , multiplikation och jämförelse . Därför kan begreppet linjär olikhet utvidgas till ordnade ringar och i synnerhet till ordnade fält . Generaliseringar av denna typ är endast av teoretiskt intresse tills tillämpningarna av dessa generaliseringar blir tydliga.

Anteckningar

↑ Miller och Heeren 1986 , sid. 355.
↑ Tekniskt sett är ett sådant påstående korrekt när a och b inte är lika med noll samtidigt. I fallet med lika med noll är lösningen en tom uppsättning, eller hela planet.
↑ Angel, Porter, 1989 , sid. 310.
↑ I fallet med ett 2-dimensionellt utrymme kallas både den linjära formen och den affina funktionen historiskt för linjära funktioner eftersom deras grafer är raka linjer. I andra dimensioner har ingen av dessa funktioner en rät linje som en graf, så generaliseringen av en linjär funktion till högre dimensioner görs i betydelsen algebraiska egenskaper, och detta leder till en separation i två sorters funktioner. Men skillnaden i dessa funktioner är bara en extra konstant.
↑ Angel, Porter, 1989 , sid. 373.

Litteratur

Allen R. Angel, Stuart R. Porter. En undersökning av matematik med tillämpningar. — 3:a. - Addison-Wesley, 1989. - ISBN 0-201-13696-1 .
Charles D. Miller, Vern E. Heeren. Matematiska idéer . — 5:a. - Scott, Foresman, 1986. - ISBN 0-673-18276-2 .
Khan Academy: Linjära ojämlikheter, gratis mikroföreläsningar online
Vyalyi MN Linjära ojämlikheter och kombinatorik . M.: MTsNMO, 2003. 32 sid.