Logaritmisk svängningsminskning

Den logaritmiska minskningen av svängningar ( dämpningsminskning ; från latin decrementum - "minskning, minskning") är en dimensionslös fysisk storhet som beskriver minskningen av amplituden för svängningsprocessen och är lika med den naturliga logaritmen för förhållandet mellan två på varandra följande amplituder av det oscillerande värdet x i samma riktning:

\lambda =\ln {\frac {x_{0}}{x_{1}}}.

Den logaritmiska minskningen av svängningar är lika med dämpningsfaktorn β , multiplicerad med svängningsperioden T :

\lambda =\beta T.

Denna parameter används som regel för linjära oscillerande system, eftersom oscillationsperioden i icke-linjära system generellt sett beror på amplituden och lagen för amplitudminskningen skiljer sig från den exponentiella. I linjära system ändras den fluktuerande storheten med tiden som

x(t)=Ae^{-\beta t}\cos \omega t,

där A = x (0) är den initiala amplituden, t är tiden, ω = 2π/ T är den cykliska oscillationsfrekvensen.

Genom att beteckna X n = x ( nT ) får vi härifrån att förhållandet mellan X k och X k +1 är lika med

X_{k}/X_{k+1}={\frac {e^{-\beta kT}}{e^{-(k+1)\beta T}}}\cdot {\frac { \cos(2\pi k)}{\cos(2\pi (k+1))))=e^{\beta T}.

Det logaritmiska dekrementet är lika med exponenten för denna exponent:

\lambda =\ln(X_{k}/X_{k+1})=\ln e^{\beta T}=\beta T.

Om energin i det oscillerande systemet är proportionell mot x , är dess kvalitetsfaktor (relativ energiförlust under fasstegringen med 1 radian) lika med

Q={\frac {2\pi }{1-e^{-\lambda }}},

och den logaritmiska minskningen uttrycks i termer av kvalitetsfaktorn som

\lambda =-\ln \left(1-{\frac {2\pi }{Q}}\höger).

För system med en hög kvalitetsfaktor (d.v.s. med svag dämpning) kan vi därför, genom att expandera i en Maclaurin-serie i λ , begränsa oss till de två första termerna och ersätta i dessa formler som leder till $\lambda \ll 1,$ $e^{-\lambda }$ $e^{-\lambda }$ $1-\lambda ,$

Q\approx {\frac {2\pi }{\lambda )),\qquad \lambda \approx {\frac {2\pi }{Q)).

Länkar

Dämpningsminskning // Physical Encyclopedia : [i 5 volymer] / Kap. ed. A. M. Prokhorov . - M . : Soviet Encyclopedia , 1988. - T. 1: Aharonov - Bohm-effekt - Långa rader. - S. 578. - 707 sid. — 100 000 exemplar.