Toeplitz matris

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 27 december 2021; verifiering kräver 1 redigering .

Toeplitz-matrisen ( diagonalt konstant matris ) är en matris där alla diagonaler parallella med den huvudsakliga har lika stora element:

A={\begin{bmatrix}a_{0}&a_{-1}&a_{-2}&\ldots &\ldots &a_{-n+1}\\a_{1}&a_{0}&a_{ -1}&\ddots &&\vdots \\a_{2}&a_{1}&\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &a_{-1}&a_ {-2}\\\vdots &&\ddots &a_{1}&a_{0}&a_{-1}\\a_{n-1}&\ldots &\ldots &a_{2}&a_{1}&a_{0} \end{bmatrix}}

det vill säga följande relation gäller:

{\displaystyle a_{i,\,j}=a_{i-1,\,j-1))

Uppkallad efter den tyske matematikern Otto Toeplitz .

Exempel

Matrix 4×5:

M={\begin{pmatrix}4&5&6&7&8\\3&4&5&6&7\\2&3&4&5&6\\\1&2&3&4&5\\\end{pmatrix))

Egenskaper

Två Toeplitz-matriser kan läggas till i operationer. Toeplitz-matris kan multipliceras med en vektor i operationer, och Toeplitz -matrismultiplikation kan göras i operationer. $På)$ $O(n\log n)$ $O(n^{2})$

Toeplitz-systemet av linjära ekvationer , det vill säga systemet med formen , där är Toeplitz-matrisen, kan lösas med Levinsonmetoden i tid [1] [2] . $ax=b$ $A$ $O(n^{2})$

Toeplitz-matriser är också relaterade till Fourier-serien : operatorn för multiplikation med ett polynom av sinus eller cosinus , projicerad på ett ändligt dimensionellt utrymme , kan representeras av en sådan matris.

Se även

Anteckningar

↑ Krishna, H.; Wang, Y. The Split Levinson Algorithm is Weakly Stable (engelska) // SIAM Journal on Numerical Analysis : journal. - 1993. - Vol. 30 , nej. 5 . - P. 1498-1508 . - doi : 10.1137/0730078 .
↑ Blahut R. E. // Snabba algoritmer för digital signalbehandling / Per. från engelska. I. I. Grushko. — M .: Mir, 1989. — 448 sid. — ISBN 5-09-001009-2 .

Länkar

Tyrtyshnikov E. E. Toeplitz-matriser, några av deras analoger och applikationer / Executive Editor Corr. Sovjetunionen VV Voevodin. - M. : VINITI, 1989. - 184 sid. - 150 exemplar. Arkiverad26 augusti 2017 påWayback Machine

Robert M. Gray Toeplitz och cirkulerande matriser: en recension . - Kalifornien, USA: nowpublishers.com, 2000. - 98 sid.

Babenko, K. I. On Toeplitz and Hankel-matriser // Advances in Mathematical Sciences. - 1986. - T. 41, nr 1 (247). - S. 171-178.

Iokhvidov I.S. Gankel och Toeplitz matriser och former: Algebraich. teori . — M .: Nauka, 1974. — 263 sid.

Pustylnikov L. D. Toeplitz och Hankel-matriser och deras tillämpningar // Uspekhi matematicheskikh nauk. - 1984. - T. 39, nr 4 (238). - S. 53-84.