Mått på irrationalitet

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 16 juni 2020; kontroller kräver 7 redigeringar .

Ett mått på irrationaliteten hos ett reellt tal är ett reellt tal som anger hur väl det kan approximeras med rationella tal . $\alfa$ $\mu$ $\alfa$

Definition

Låt vara ett reellt tal, och låt vara mängden av alla tal så att olikheten bara har ett ändligt antal lösningar i heltal och : $\alfa$ $M(\alfa)$ $\mu$ $0<\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{\mu }}}$ $sid$ $q>0$

M(\alpha )=\left\{\mu >0\colon (\exists q_{0}=q_{0}(\mu ,\;\alpha ))\;(\forall p,\; q\in \mathbb {Z} )\;q>q_{0}\Rightarrow \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {1}{q^{\ mu }}}\lor \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|=0\right\}.

Då definieras måttet på irrationaliteten hos ett tal som infimum : $\mu (\alpha)$ $\alfa$ $M(\alfa)$

\mu (\alpha )=\inf M(\alpha ).

Om , anta då . $M(\alpha )=\varnothing$ $\mu (\alpha )=+\infty$

Med andra ord, är det minsta antalet så att för alla för alla rationella approximationer med en tillräckligt stor nämnare är det sant att . $\mu$ $\varepsilon >0$ ${\frac {p}{q))$ $\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {1}{q^{{\mu +\varepsilon }}}}$

Möjliga värden för måttet på irrationalitet

$\mu (\alpha )=1$ om och endast om är ett rationellt tal. $\alfa$
Om är ett algebraiskt irrationellt tal , då . $\alfa$ $\mu (\alpha )=2$
Om är ett transcendentalt tal , då . I synnerhet, om , då kallas numret ett Liouville-nummer . $\alfa$ $\mu (\alpha )\geqslant 2$ $\mu (\alpha )=+\infty$ $\alfa$

Koppling med fortsatta bråk

Om är expansionen av ett tal till en fortsatt bråkdel , och är den lämpliga fortsatta bråkdelen, då $\alpha =[a_{0};\;a_{1},\;a_{2},\;\ldots ]$ $\alfa$ ${\frac {p_{n}}{q_{n}}}$ $n$

\mu (\alpha )=1+\limsup \limits _{{n\to +\infty }}{\frac {\ln q_{{n+1}}}{\ln q_{n}}}=2 +\limsup \limits _{{n\to +\infty }}{\frac {\ln a_{{n+1}}}{\ln q_{n}}}.

Med denna formel är det särskilt lätt att hitta ett mått på irrationalitet för kvadratiska irrationaliteter , eftersom deras expansioner till fortsatta bråk är periodiska. Till exempel för det gyllene snittet och sedan . $\varphi =[1;\;1,\;1,\;\ldots ]$ $\mu (\varphi )=2$

Thue-Siegel-Roths teorem

Genom Dirichlet lemma , om irrationell, då det finns ett oändligt antal p och q så att , det vill säga . År 1844, Liouville bevisade ett teorem som för alla algebraiska antal grad , kan man välja en konstant sådan att . 1908 stärkte Thue denna bedömning. Ytterligare resultat i denna riktning erhölls av Siegel , Dyson , Gelfond , Schneider . Den mest exakta uppskattningen bevisades av Roth 1955, den resulterande satsen kallas Thue-Siegel-Roth-satsen . Hon hävdar att om är ett algebraiskt irrationellt tal, då . För detta bevis fick Roth Fields- medaljen . $\alfa$ $\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{2}}}$ $\mu (\alpha )\geqslant 2$ $\alfa$ $n$ $c=c(\alpha )$ $\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|\geqslant {\frac {c}{q^{n}}}$ $\alfa$ $\mu (\alpha )=2$

Ett mått på irrationaliteten hos vissa transcendentala tal

För nästan alla transcendentala tal är måttet på irrationalitet lika med 2. Det är välkänt att , och även Liouville-talen är kända , som per definition har ett oändligt mått på irrationalitet. Men för många andra transcendentala konstanter är måttet på irrationalitet okänt, i bästa fall är någon övre uppskattning känd. Till exempel: $\mu \left(e\right)=2$

$\mu \left(\pi \right)\leqslant 7{,}103205334137$ [ett]
$\mu \left(\zeta \left(3\right)\right)\leqslant 5{,}513891$
$\mu \left(\ln 3\right)\leqslant 5{,}116201$
$\mu \left(\pi ^{2}\right)\leqslant 5{,}09541179$ [2]
$\mu \left({\frac {\pi }{\sqrt {3))}\right)\leqslant 4{,}230464$ [3]
$\mu \left(\ln 2\right)\leqslant 3{,}57455391$

Se även

Anteckningar

↑ Doron Zeilberger, Wadim Zudilin. Irrationalitetsmåttet för Pi är högst 7,103205334137 . archive.org (2019). Arkiverad 17 oktober 2020. (obestämd)
↑ Irrationalitetsmått - från Wolfram MathWorld . Hämtad 28 februari 2021. Arkiverad från originalet 11 januari 2021. (obestämd)
↑ V. A. Androsenko, Mått på irrationaliteten hos talet π/√3, Izv. RAN. Ser. matematik. , 2015, volym 79, nummer 1, 3–20

Länkar

Weisstein , Eric W. Irrationality Measure på Wolfram MathWorld .