Ett mått på irrationaliteten hos ett reellt tal är ett reellt tal som anger hur väl det kan approximeras med rationella tal .
Låt vara ett reellt tal, och låt vara mängden av alla tal så att olikheten bara har ett ändligt antal lösningar i heltal och :
Då definieras måttet på irrationaliteten hos ett tal som infimum :
Om , anta då .
Med andra ord, är det minsta antalet så att för alla för alla rationella approximationer med en tillräckligt stor nämnare är det sant att .
Om är expansionen av ett tal till en fortsatt bråkdel , och är den lämpliga fortsatta bråkdelen, då
Med denna formel är det särskilt lätt att hitta ett mått på irrationalitet för kvadratiska irrationaliteter , eftersom deras expansioner till fortsatta bråk är periodiska. Till exempel för det gyllene snittet och sedan .
Genom Dirichlet lemma , om irrationell, då det finns ett oändligt antal p och q så att , det vill säga . År 1844, Liouville bevisade ett teorem som för alla algebraiska antal grad , kan man välja en konstant sådan att . 1908 stärkte Thue denna bedömning. Ytterligare resultat i denna riktning erhölls av Siegel , Dyson , Gelfond , Schneider . Den mest exakta uppskattningen bevisades av Roth 1955, den resulterande satsen kallas Thue-Siegel-Roth-satsen . Hon hävdar att om är ett algebraiskt irrationellt tal, då . För detta bevis fick Roth Fields- medaljen .
För nästan alla transcendentala tal är måttet på irrationalitet lika med 2. Det är välkänt att , och även Liouville-talen är kända , som per definition har ett oändligt mått på irrationalitet. Men för många andra transcendentala konstanter är måttet på irrationalitet okänt, i bästa fall är någon övre uppskattning känd. Till exempel: